7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым

В этом пункте мы докажем следующую теорему.

Любое составное алгебраическое расширение является простым, т. е. существует такое число , что

Рассмотрим сначала случай когда . Пусть — минимальные многочлены (над Р) чисел соответственно (как мы знаем, эти числа алгебраичны над Р) и пусть

— корни многочлена и

— корни многочлена Так как многочлены неприводимы, то среди корней (1), так же как и среди корней (2), нет одинаковых.

Рассмотрим элементы

где (таким образом, ).

Число этих элементов равно и, следовательно, конечно. Поэтому в поле Р (даже в поле R рациональных чисел) можно найти число с, не равное ни одному из чисел (3). Положим

Так как число с не равно ни одному из чисел (3), то

ни для каких ли

Число принадлежит полю К и, следовательно, алгебраично. Порожденное им простое алгебраическое расширение содержится в К:

Рассмотрим многочлен

Это — многочлен над полем , имеющий общий корень с многочленом (который также можно считать многочленом над полем ). Из соотношения (4) вытекает, что никаких других общих корней многочлены не имеют (ибо если ) , то число будет корнем многочлена для некоторого , что по построению возможно только для .

Следовательно, наибольшим общим делителем этих многочленов является двучлен . Но, как известно (см. Курс, стр. 289), наибольший общий делитель двух многочленов над некоторым полем (в нашем случае над полем ) также является многочленом над этим же полем. Поэтому

и, следовательно,

В силу минимальности расширения отсюда вытекает, что

Сопоставляя это включение с включением (5) и учитывая, что , мы получим

Таким образом, для теорема доказана.

Случай любого s сводится к случаю тривиальным применением метода полной индукции.

Доказанная теорема означает, что к приведенному в предыдущем пункте перечню равносильных свойств расширений мы можем добавить следующее свойство:

г) поле К является простым алгебраическим расширением поля Р.

Другими словами, конечные (т. е. составные алгебраические, т. е. алгебраически порожденные) расширения исчерпываются простыми алгебраическими расширениями.