| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
 |
|
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах
Результаты предыдущего пункта позволяют, в частности, полностью описать все уравнения пятой степени (имеющие нормальный вид), которые можно решить в радикалах. Действительно, если уравнение
приводимо, то оно сводится к уравнениям меньших степеней и потому решается в радикалах. Если же уравнение (1) неприводимо, то его группа Галуа либо содержит группу 
(и поэтому неразрешима), либо сопряжена некоторой подгруппе метациклической группы (и поэтому разрешима). Кроме того, оказывается, что если многочлен
имеет кратный корень, 
уравнение (1) решается в радикалах.
Действительно, пусть многочлен (2) имеет кратный корень 
. Тогда
Следовательно,
Если 
, то уравнение (1) имеет кратные корни, приводимо и решается в радикалах. Пусть 
. Тогда ввиду равенства (4)
Следовательно, после сокращения мы получим из уравнения (5) уравнение
из которого следует, что
Подставляя это значение 
в равенство (3), мы получим, что
Но легко сосчитать, что для уравнения (1)
Следовательно,
т. е. либо 
либо 
. В обоих случаях уравнение (1) разрешимо в радикалах.
Задача. Доказать формулу (6).
Из всего сказанного вытекает следующее окончательное утверждение.
Уравнение (1) тогда и только тогда решается в радикалах, когда оно либо приводимо, либо хотя бы один корень мндгдчлена (2) принадлежит основному полю Р,
Это утверждение справедливо для любых уравнений (1), даже имеющих кратные корни.
Пользуясь формулой (6), многочлен (2) можно переписать в следующем виде:
Пусть этот многочлен имеет корень 
. Полагая
где 
— некоторые параметры, мы получим, что
Отсюда
Таким образом, уравнение (1) тогда и только тогда решается в радикалах, когда оно либо приводимо, либо его коэффициенты и и v имеют вид (7), где 
и 
— некоторые элементы основного поля Р.
| << Предыдущий параграф | Следующий параграф >> |
-
ПРЕДИСЛОВИЕ
I. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
-
ГЛАВА 1. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЕЙ
-
2. Некоторые важные типы расширений
-
3. Минимальный многочлен. Строение простых алгебраических расширений
-
4. Алгебраичность конечных расширений
-
5. Строение составных алгебраических расширений
-
6. Составные конечные расширения
-
7. Теорема о том, что составное алгебраическое расширение является простым
-
8. Поле алгебраических чисел
-
9. Композит полей
ГЛАВА 2. НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ГРУПП
-
1. Определение группы
-
2. Порядки элементов
-
3. Подгруппы, нормальные делители и факторгруппы
-
4. Гомоморфные отображения
-
ГЛABA 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА
-
2. Автоморфизмы полей. Группа Галуа
-
3. Порядок группы Галуа
-
4. Соответствие Галуа
-
5. Теорема о сопряженных элементах
-
6. Группа Галуа нормального подполя
-
7. Группа Галуа композита двух полей
II. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В РАДИКАЛАХ
-
1. Обобщение теоремы о гомоморфизмах
-
2. Нормальные ряды
-
3. Циклические группы
-
4. Разрешимые и абелевы группы
-
5. Группы Zn и Mn
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ, РАЗРЕШИМЫЕ В РАДИКАЛАХ
-
1. Простые радикальные расширения
-
2. Циклические расширения
-
3. Радикальные расширения
-
4. Нормальные поля с разрешимой группой Галуа
-
5. Уравнения, разрешимые в радикалах
ГЛАВА 3. ПОСТРОЕНИЕ УРАВНЕНИЙ, НЕРАЗРЕШИМЫХ В РАДИКАЛАХ
-
1. Группа Галуа уравнения как группа подстановок
-
§ 2. Разложение подстановок в произведение циклов
-
3. Четные подстановки. Знакопеременная группа
-
4. Строение знакопеременной и симметрической групп
-
5. Пример уравнения с симметрической группой Галуа
-
6. Обсуждение полученных результатов
ГЛАВА 4. НЕРАЗРЕШИМОСТЬ В РАДИКАЛАХ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ СТЕПЕНИ n >= 5
-
1. Поле формальных степенных рядов
-
2. Поле дробностепенных рядов
-
3. Группа Галуа общего уравнения степени n
-
4. Решение уравнений низших степеней
III. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ ГАЛУА
-
ГЛАВА 1. ПРАКТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ГРУПП ГАЛУА УРАВНЕНИЙ
-
2. Сопряженные группы подстановок
-
3. Вычисление группы Галуа произвольного многочлена
-
4. Пример: уравнения, группы Галуа которых содержатся в знакопеременной группе
-
5. Уравнения третьей и четвертой степени
ГЛАВА 2. УРАВНЕНИЯ ПЯТОЙ СТЕПЕНИ
-
1. Транзитивные группы подстановок
-
2. Транзитивные группы простой степени
-
3. Транзитивные группы пятой степени
-
4. Вычисление группы Галуа неприводимого уравнения пятой степени
-
5. Определяющий многочлен для метациклической группы
-
6. Случай уравнений в нормальном виде
- 7. Уравнения пятой степени, разрешимые в радикалах
-
8. Приведение уравнения пятой степени к нормальному виду
-
ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ В НЕПРИВОДИМЫХ РАДИКАЛАХ
-
2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям
-
3. Доказательство теоремы А
-
4. Мультипликативная группа классов по примарному модулю
-
6. Группы Галуа примарных круговых расширений
-
6. Доказательство теоремы В
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДЕЛЕНИЯ КРУГА
-
1. Строение полей деления круга простого показателя
-
2. Решение уравнений деления круга
-
3. Прием Гаусса
-
4. Уравнение деления круга на 17 частей
-
ГЛАВА 5. ПОСТРОЕНИЯ ЦИРКУЛЕМ И ЛИНЕЙКОЙ
-
2. Примарные группы
-
3. Пифагоровы расширения
-
4. Некоторые конкретные задачи на построение