2. Сведение основной теоремы к двум частным случаям

В этом пункте мы покажем, что для доказательства сформулированной в конце предыдущего пункта основной теоремы этой главы достаточно доказать следующие ее частные случаи.

Теорема А. Если поле Р содержит все корни из единицы степени , то любое его простое радикальное расширение, определяемое двучленным уравнением степени , является неприводимо-радикальным расширением.

Теорема В. Любое расширение вида , где С — произвольный корень из единицы, содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении.

В первую очередь мы рассмотрим случай, когда рассматриваемое радикальное расширение К поля Р является простым радикальным расширением, т. е. имеет вид где — корень двучленного уравнения

а С — первообразный корень из единицы степени n. Согласно теореме В, существует такое неприводимо-радикальное расширение L поля Р, что . Пусть

Поле К является простым радикальным расширением поля L, определяемым уравнением (1) степени , причем поле L содержит, по построению, первообразный корень из единицы С степени п. Поэтому, согласно теореме А, поле К является неприводимо-радикальным расширением поля

Заметим теперь, что из определения неприводимо-радикального расширения непосредственно вытекает следующая

Лемма. Если поле Q является неприводимо-радикальным расширением некоторого поля, которое в свою Очередь представляет собой неприводимо-радикальное расширение поля Р, то поле Q является неприводиморадикальным расширением и поля Р.

Согласно этой лемме, построенное выше поле К является неприводимо-радикальным расширением поля Р. Тем самым в рассматриваемом частном случае наша основная теорема доказана, ибо поле К содержит, очевидно, поле К.

Пусть теперь К — произвольное радикальное расширение Поля Р, и пусть

— некоторый его радикальный ряд. Проведем индукцию по числу s. Для теорема уже доказана.

Пусть она уже доказана для числа , т. е. пусть уже доказано, что расширение содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении L поля Р. Рассмотрим композит Q полей L и К. Легко видеть, что поле Q является простым радикальным расширением поля L (доказать!) и потому, согласно доказанному, выше, содержится в некотором неприводимо-радикальном расширении К поля L. Согласно лемме, поле К представляет собой неприводимо-радикальное расширение поля Р и, очевидно, содержит поле К. Тем самым теорема полностью доказана.