6. Составные конечные расширения

Пусть L — конечное расширение поля Р, К — конечное расширение поля

— базис поля L над полем Р и — базис поля К над полем L. Таким образом,

Оказывается, что элементов , и, образуют базис поля К над полем Р.

Другими словами, любой элемент поля К является линейной комбинацией элементов коэффициентами из поля Р и элементы линейно независимы над полем Р. Действительно, любой элемент поля К является, по определению, линейной комбинацией элементов с коэффициентами из поля

то

С другой стороны, для каждого элемент является линейной комбинацией элементов с коэффициентами из поля Р:

то

Подставляя эти выражения в формулу (1), мы получим, что

Таким образом, любой элемент поля К является линейной комбинацией элементов вида с коэффициентами из поля Р.

Предположим теперь, что в поле Р существуют такие элементы , что

Для любого положим

Элементы принадлежат полю L и удовлетворяют соотношению

Так как элементы образуют базис поля К над полем L, то из этого соотношения вытекает, что

Таким образом, для любого

Следовательно, поскольку элементы образуют базис поля L над полем Р, то для всех i и j. Тем самым доказано, что система элементов линейно независима.

Из доказанного утверждения вытекает, что поле К является конечным расширением поля Р и его степень равна , т. е.

Эту формулу легко обобщить: если

причем для любого поле является конечным расширением поля то поле К будет конечным расширением поля Р и

Для доказательства достаточно применить индукцию по .

Эта теорема применима, в частности, к любому составному алгебраическому расширению, ибо, как мы знаем, любое простое алгебраическое расширение является конечным расширением. Таким образом, мы получаем, что любое составное алгебраическое расширение является конечным расширением.

Другими словами, класс расширений типа 3° содержится в классе расширений типа 1°.

Так как все элементы конечного расширения поля Р алгебраичны над полем Р, то, в частности, для любого составного алгебраического расширения элементы алгебраичны над Р. Поэтому расширение является алгебраически порожденным расширением. Таким образом, любое составное алгебраическое расширение является алгебраически порожденным расширением.

Другими словами, класс расширений типа 3° содержится в классе расширений типа 2°.

Сопоставляя это замечание с результатами предыдущего пункта, мы видим, что класс составных алгебраических расширений совпадает с классом алгебраически порожденных расширений. При этом, если , то и наоборот.

Далее, как было доказано в п. 4, класс конечных (т. е. типа 1°) расширений содержится в классе расширений типа 3°, т. е., по доказанному, и в классе расширений типа 2°. Следовательно, класс конечных расширений совпадает с классом составных алгебраических расширений.

Сопоставляя обе эти теоремы, получаем, что следующие три утверждения равносильны:

а) поле К является конечным расширением поля Р;

б) поле К является составным алгебраическим расширением поля Р;

в) поле К является алгебраически порожденным расширением поля Р.

Таким образом, все три термина «конечное», «составное алгебраическое» и «алгебраически порожденное» означают (в применении к расширениям) одно и то же.

Закончим этот пункт некоторыми замечаниями, касающимися подполей конечных расширений.

Пусть К — произвольное конечное расширение поля Р, и пусть L — его подполе, содержащее поле Р:

Очевидно, что L конечно над Р (ибо не может содержать бесконечной линейно независимой над полем Р системы элементов), а К конечно над L (ибо любая линейная комбинация над Р автоматически является линейной комбинацией над L). Следовательно, мы находимся в условиях применимости доказанной в начале этого пункта теоремы. Поэтому.

Таким образом, любое подполе L (содержащее поле Р) конечного расширения К поля Р является конечным расширением, а его степень — делителем степени поля К.

Соответствующее частное ровно степени поля К над полем

Так как простое алгебраическое расширение , порожденное некоторым элементом а конечного расширения К, лежит в , а его степень равна степени числа а, то степень (над Р) любого элемента конечного расширения К полр Р делит степень поля К над полем Р. Это — уточнение доказанного в п. 4 неравенства. Задача. Доказать, что конечное расширение степени тогда и только тогда является простым алгебраическим расширением, когда в нем существует элемент, имеющий степень .