2. Порядки элементов

Пусть g — произвольный элемент группы О. Рассмотрим всевозможные его степени

Если все эти степени различны, то элемент g называется элементом бесконечного порядка; в противном случае он называется элементом конечного порядка.

Пусть g — элемент конечного порядка, т. е. пусть для двух различных целых чисел . Без ограничения общности можно считать, что , т. е. число положительно. Так как , то . Таким образом, для любого элемента конечного порядка существуют такие положительные целые числа N, что . Наименьшее из этих чисел называется порядком элемента g.

Заметим, что порядок 1 имеет только единица группы G.

Пусть — порядок элемента g, и пусть а — произвольное (не обязательно положительное) целое число. Оказывается, что порядок элемента равен , где d — наибольший (положительный) общий делитель чисел и .

Действительно, во-первых,

где . Во-вторых, если , где , то, разделив (с остатком) число на , т. е. найдя такие Числа , что

(легко видеть, что обладающие этими свойствами числа q и r существуют и тогда, когда число отрицательно), мы получим, что

Отсюда, ввиду минимальности числа вытекает, что и, значит, Сокращая это равенство на d, мы получим, что

Так как числа взаимно просты, из этого равенства следует (докажите!), что делится на и потому не меньше чем . Таким образом, является наименьшим положительным числом среди всех чисел , для которых , т. е. является порядком элемента

Из доказанного утверждения немедленно вытекает, что

1) если число а делит порядок элемента g, то порядок элемента равен

2) если числа взаимно просты, то порядок элемента равен

3) порядок элемента равен порядку элемента

4) если то число а делится на .

Докажем, например, следствие 4). Равенство означает, что порядок элемента равен единице. Поэтому по доказанной теореме число d равно т. е. а делится на

Задача. Докажите утверждения 1) — 4) непосредственно, т. е. не используя доказанную выше общую теорему.

Если элемент группы G имеет порядок а элемент — порядок то о порядке элемента в общем случае ничего сказать нельзя (элемент может даже оказаться элементом бесконечного порядка). Однако, если группа G абелева, а порядки элементов взаимно просты, то порядок элемента равен

Действительно, во-первых,

а во-вторых, если , где , то

и потому делится на Следовательно, делится на (докажите!). Аналогично доказывается, что делится на

Следовательно, делится и на . Таким образом, число действительно является порядком элемента

Очевидно, что аналогичное утверждение справедливо и для произведения любого числа элементов (взаимно простых порядков).