ГЛABA 3. ТЕОРИЯ ГАЛУА

1. Нормальные расширения

Во всей этой главе предполагается заданным некоторое фиксированное поле Р. Мы будем называть это поле основным полем. Все другие поля предполагаются расширениями этого основного поля. Подчеркнем, что основное поле можно выбрать совершенно произвольно.

Пусть — произвольный (вообще говоря, приводимый) многочлен над полем Р. Расширение поля Р, порожденное всеми корнями многочлена называется полем разложения этого многочлена (заметим, что это определение отличается от определения, принятого в Курсе, стр. 304, где полем разложения называется любое, не обязательно минимальное расширение поля Р, содержащее корни Согласно гл. 1, п. 5, любой элемент поля выражается в виде многочлена от с коэффициентами из поля Р.

Конечное расширение К поля Р называется нормальным расширением, если любой неприводимый над Р многочлен, имеющий в К хотя бы один корень, разлагается в К на линейные множители. Другими словами, расширение К поля Р нормально, если выполняются следующие два условия:

1) К конечно над Р;

2) если неприводимый над Р многочлен имеет в К хотя бы один корень, то К содержит поле разложения этого многочлена.

Нормальные расширения основного поля Р мы будем также называть нормальными полями.

Два алгебраических (над полем Р) числа называются сопряженными (над Р), если их минимальные многочлену (над Р) совпадают (точнее, отличаются на постоянный множитель).

Другими словами, алгебраические числа сопряжены, если они Являются корнями одного и того же неприводимого над Р многочлена. Понятие сопряженных чисел позволяет следующим образом переформулировать определение нормального расширения: расширение К поля Р нормально, если

1) К конечно над Р;

2) любое число, сопряженное некоторому числу из К, также принадлежит К.

Эта форма определения нормального расширения часто наиболее удобна.

Пусть К — произвольное нормальное расширение поля Р. Так как поле К, по определению, конечно над Р, то существуют такие элементы , что

Пусть — минимальный многочлен числа над полем Р. Так как поле К нормально (т. е. является нормальным расширением поля Р), то многочлены имеющие в нем корни, разлагаются в К на линейные множители. Следовательно, в поле К разлагается на линейные множители и произведение

многочленов т. е. поле К содержит поле разложения Q многочлена С другой стороны, числа являются корнями (не всеми!) многочлена и потому поле К содержится в поле Q. Следовательно, . Таким образом, любое нормальное поле является полем разложения некоторого многочлена.

Задача. Доказать, что любое нормальное поле является полем разложения неприводимого многочлена.

Оказывается, что нормальными полями исчерпываются все поля разложения, т. е. любое поле, являющееся полем разложения некоторого многочлена (над полем Р), будет нормальным расширением поля Р.

Для доказательства этого важного утверждения нам понадобятся некоторые сведения из теории многочленов от неизвестных, имеющие и самостоятельный интерес.

Пусть

— произвольная подстановка степени (см. Курс, стр. 30, а также ниже, ч. II, гл. 3, п. 1). Любому многочлену от неизвестных над полем Р отнесем с помощью подстановки а многочлен определив его формулой

Очевидно, что

и

Кроме того, равенство тогда и только тогда имеет место для любой подстановки а, когда многочлен g является симметрическим многочленом.

Пусть теперь

— все подстановки степени . Рассмотрим многочлены

где — произвольный многочлен от неизвестных Воздействуя на эти многочлены произвольной подстановкой а степени , мы получим многочлены

Так как подстановки

Очевидно, исчерпывают все подстановки степени (их и все они различны), то многочлены (2) с точностью до порядка следования совпадают с многочленами (1).

Отсюда вытекает, что любой симметрический многочлен от является симметрическим многочленом и от т. e. если - симметрический многочлен от переменных то подставляя вместо многочлен мы получим симметрический многочлен от . В частности, все коэффициенты многочлена

(рассматриваемого как многочлен от неизвестного ) являются симметрическими многочленами от и, следовательно (см. Курс, стр. 322), выражаются в виде многочленов (с коэффициентами из поля Р) от элементарных симметрических многочленов.

Вернемся теперь к доказательству сформулированного пыше утверждения.

Пусть К — поле разложения некоторого многочлена над полем Р. Тогда, как уже выше отмечалось, любой элемент поля К записывается в виде многочлена от корней многочлена (вообще говоря, многими различными способами), т. е. существует такой многочлен от неизвестных что

Рассмотрим многочлен

где — многочлен (3), построенный для многочлена По определению

где

Согласно сказанному выше, коэффициенты многочлена выражаются в виде многочленов над полем Р от элементарных симметрических многочленов от , т. е. выражаются в виде многочленов от коэффициентов многочлена Следовательно, является многочленом над полем Р.

Минимальный многочлен числа (над полем Р) имеет с многочленом общий корень и поэтому делит многочлен . Следовательно, все корни многочлена т. е. все числа, сопряженные с числом , содержатся среди чисел и поэтому принадлежат полю К.

Таким образом, мы доказали, что все числа, сопряженные с любым элементом расширения К (как мы знаем, конечного), принадлежат . Следовательно, поле К нормально.