4. Соответствие Галуа

Пусть, как и выше, - произвольное нормальное расширение основного поля - его группа Галуа над полем Р.

В этом пункте мы будем рассматривать расширения L поля , содержащиеся в поле К:

Такие расширения мы будем называть промежуточными полями.

Многочлен над полем , корнем которого является число , можно рассматривать и как многочлен над любым промежуточным полем L. Очевидно, что его полем разложения над L является поле (почему?). Следовательно, поле нормально над полем L. С другой стороны, так как , то , а так как , то . Следовательно, Таким образом, поле К нормально над любым промежуточным полем L.

Поэтому можно говорить о группе Галуа поля К над полем L. Согласно доказанному в предыдущем пункте, порядок группы равен степени поля К над полем .

Элементами группы являются, по определению, автоморфизмы поля К, оставляющие на месте любой элемент поля L. Так как то эти автоморфизмы оставляют на месте и любой элемент поля P, т. е. являются элементами группы Галуа поля К над полем H. Таким образом,

то есть группа Галуа поля К над полем L является подгруппой группы Галуа поля К над полем Р. Ее порядок равен степени поля К над полем

Пусть теперь Н — произвольная подгруппа группы Галуа . Очевидно, что совокупность всех элементов поля К, остающихся на месте при любом автоморфизме из подгруппы Н, является подполем поля К. Это подполе содержит поле H, т. е. является промежуточным полем. Мы будем обозначать его через

Пусть

— все элементы подгруппы Н (таким образом, — порядок, подгруппы Н). Рассмотрим многочлен

Его корнями являются числа

При любом автоморфизме эти числа переходят в числа

Но элементы

очевидно, исчерпывают все элементы подгруппы Н (их и они все различны). Следовательно, числа (2) с точностью до порядка следования совпадают с числами (1). Другими словами, при любом автоморфизме корни многочлена лишь переставляются. Поэтому любой симметрический многочлен от этих корней, в частности любой коэффициент многочлена остается на месте при автоморфизме Т и, следовательно (поскольку Т — любой автоморфизм из подгруппы Н), принадлежит полю . Таким образом, многочлен является многочленом над полем . Следовательно, минимальный многочлен элемента над полем является делителем многочлена и поэтому его степень (т. е. степень числа над полем ) меньше или равна . Но, как мы видели выше, поле К является простым алгебраическим расширением любого промежуточного поля (и значит, в частности, поля ), порожденным числом . Поэтому степень поля К над полем равна степени минимального (над ) многочлена числа , т. е., по доказанному, меньше или равна т.

Рассмотрим теперь группу Галуа поля К над полем . Согласно п. 3, порядок этой группы равен степени поля К над полем и поэтому меньше или равен т. С другой стороны, группа состоит, по определению, из всех автоморфизмов поля К, оставляющих на месте элементы поля и поэтому содержит подгруппу Н.

Следовательно, ее порядок не может быть меньше .

Отсюда вытекает, что порядок группы равен и потому она совпадает с подгруппой Н. Таким образом,

Пусть теперь L — произвольное промежуточное поле, и пусть . Рассмотрим поле . Очевидно, что

Согласно гл. 1, п. 6,

С другой стороны, по только что доказанному, степень поля К над полем равна порядку группы , т. е. равна степени поля К над полем L. Следовательно, . Тем самым доказано, что если , то .

Мы видим, таким образом, что любому промежуточному полю L соответствует некоторая подгруппа группы (именно группа ), причем для любой подгруппы Н группы существует промежуточное поле L (именно поле ), которому соответствует эта подгруппа, и различным промежуточным полям соответствуют различные подгруппы (потому что, если ), то имеем

Другими словами, мы построили взаимно однозначное соответствие между множеством всех промежуточных полей и множеством всех подгрупп группы Галуа. Это соответствие называется соответствием Галуа.

Повторим еще раз, что в соответствии Галуа промежуточному подполю L нормального поля К соответствует группа Галуа поля К над полем L, а подгруппе Н группы — подполе ), состоящее из всех элементов поля К, остающихся на месте при каждом автоморфизме из Н.

Порядок группы равен степени поля К над полем L, а степень поля К над полем равна порядку группы Н.

В частности, всей группе соответствует поле Р. Следовательно, поле Р состоит из всех элементов поля К, остающихся на месте при каждом автоморфизме из группы .

Единичной подгруппе Е, т. е. подгруппе, состоящей только из тождественного автоморфизма Е, соответствует, очевидно, все поле К.

Соответствие Галуа позволяет теорию подполей данного нормального поля в некотором смысле «отобразить» в теорию подгрупп его группы Галуа и тем самым изучить эти подполя теоретико-групповыми методами. Например, из конечности числа подгрупп конечной группы немедленно следует, что число промежуточных подполей любого нормального поля конечно. Доказать этот факт, не пользуясь соответствием Галуа, довольно затруднительно.

Применяя соответствие Галуа, нужно всегда иметь в виду, что оно «обращает знаки включения», т. е. если подполям поля К соответствуют подгруппы его группы Галуа, то из

вытекает, что

и, наоборот, из (4) вытекает (3).