2. Некоторые важные типы расширений

Расширение К поля Р называется конечным, если в поле К существуют такие элементы что любой элемент единственным образом записывается в виде линейной комбинации этих элементов с коэффициентами из поля Р:

Обладающая этим свойством система элементов называется базисом поля К над полем Р.

К понятию конечного расширения можно подойти и с другой стороны, заметив, что любое расширение L поля Р можно рассматривать как линейное пространство над полем Р. Действительно, элементы поля К можно складывать и умножать на элементы поля Р, причем обе операции (сложение и умножение на элементы поля Р), очевидно, обладают всеми необходимыми свойствами. С этой точки зрения расширение К тогда и только тогда конечно, когда оно имеет конечную размерность (как линейное пространство над полем Р), а система элементов тогда и только тогда является его базисом (в только что определенном смысле), когда она является его базисом в смысле теории линейных, пространств.

Так как все базисы конечномерного линейного пространства состоят из одного и того же числа векторов, то, в частности, все базисы поля К над полем Р состоят из одного и того же числа элементов. Это число называется степенью поля К над полем Р и обозначается через (с точки зрения теории линейных пространств степень поля К — это его размерность как линейного пространства над полем Р).

Задача. Доказать, что степень тогда и только тогда равна единице, когда

Пусть Р — произвольное поле (числовое) и произвольные числа (т. е. элементы поля С). Рассмотрим всевозможные поля, являющиеся расширениями поля Р и содержащие числа Такие поля существуют, ибо, например, к их числу принадлежит поле С всех комплексных чисел. Легко видеть, что пересечение всех этих полей также является полем (вообще без труда доказывается, что пересечение любой системы полей само является полем). Это пересечение является, очевидно, минимальным расширением поля Р, содержащим числа (минимальность означает, что это пересечение является подполем любого другого, содержащего числа расширения поля Р).

Это минимальное расширение обозначается через и называется расширением, порожденным числами

Очевидно, что тогда и только тогда, когда .

Задача. Доказать, что поле можно определить как совокупность всех чисел, получающихся в результате применения к числам поля Р и числам всевозможных комбинаций четырех арифметических действий.

Число а называется алгебраическим над полем Р, если оно является корнем некоторого (не равного тождественно нулю) многочлена с коэффициентами из поля Р. Люббй элемент поля Р, очевидно, алгебраичен над этим полем (если верно и обратное, т. е. если любое алгебраическое над полем Р число принадлежит этому полю, то Р называется алгебраически замкнутым полем; ср. п. 1).

Очевидно, далее, что любое число, алгебраическое над полем Р, является алгебраическим числом и над любым расширением поля Р. Подчеркнем, что обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Например, любое комплексное число является алгебраическим над полем D действительных чисел (ибо оно является корнем квадратного трехчлена с действительными коэффициентами), тогда как существуют числа (даже действительные), не алгебраические над полем R рациональных чисел. В качестве примера неалгебраических над полем R чисел можно указать известные числа ей и, неалгебраичность которых доказывается в полных курсах теории чисел (см. также ниже, ч. III, гл. 4, п. 4).

Расширение К поля Р называется алгебраически порожденным, если оно порождается некоторой конечной системой алгебраических над полем Р чисел, т. е. если существуют такие алгебраические над полем Р числа что . Если, в частности то поле называется простым алгебраическим расширением поля Р.

Расширение К поля Р называется составным алгебраическим расширением, если существует такая цепочка подполей

начинающаяся с поля Р и кончающаяся полем К, что для любого поле является простым алгебраическим расширением поля . Если , то поле К обозначается через Подчеркнем, что алгебраичность чисел над полем Р в этом определении не предполагается.

Наконец, расширение К поля Р называется алгебраическим, если любой его элемент является числом алгебраическим над полем Р.

Таким образом, мы ввели следующие пять типов расширения:

1° конечные расширения;

2° алгебраически порожденные расширения;

3° составные алгебраические расширения;

4° простые алгебраические расширения;

5° алгебраические расширения.

В этой главе мы изучим соотношения, имеющиеся между этими типами расширений, а также строение расширений каждого из этих типов (кроме, впрочем, последнего).