3. Доказательство теоремы А

Таким образом, нам осталось лишь доказать теоремы А и В. В первую очередь мы докажем теорему А, как более простую.

Пусть рассматриваемое простое радикальное расширение К поля Р определяется двучленным уравнением

т. е. пусть

где 0 — произвольный корень уравнения (1). (Напомним, что поле Р содержит по условию все корни из единицы степени , т. е. содержит первообразный корень С степени ). Пусть, далее, — минимальный многочлен числа над полем Р, и пусть — его степень, т. е. степень поля К над полем Р. Поскольку многочлен неприводим и имеет общий корень с многочленом он делит этот многочлен и потому имеет вид

где — некоторые целые числа. Раскрывая в этом выражении скобки и обозначая свободный член многочлена через мы получим, что

где . Возводя это равенство в степень и учитывая, что мы получим, что

Пусть теперь а — наибольший общий делитель чисел и . Тогда, как мы знаем (см. лемму на стр. 70), существуют такие числа , что

Следовательно,

то

где — некоторый корень из единицы степени d. Поскольку корень можно представить в виде где с — некоторое целое число, отсюда вытекает, что многочлен , где делится на многочлен Поскольку за принят произвольный корень уравнения (1), можно считать, что является корнем как раз многочлена . Поскольку отсюда следует, что , т. е. что и многочлен неприводим. Таким образом, поле К порождается над полем Р корнем неприводимого двучленного уравнения

т. е. представляет собой неприводимо-радикальное расширение. Тем самым теорема А полностью доказана.

Замечание. Теорему А можно доказать и значительно быстрее, если использовать теорию циклических расширений.

Действительно, как мы знаем (см. ч. II, гл. 2, п. 1), группа Галуа поля К над полем Р является циклической группой, причем ее порядок делит число . Так как поле Р содержит первообразный корень из единицы степени , то в силу основной теоремы о циклических расширениях (ч. II, гл. 2, п. 2) поле К определяетоя над полем Р неприводимым двучленным уравнением, т. е. поле К, как и утверждается в теореме А, является неприводимо-радикальным расширением поля Р.