6. Обсуждение полученных результатов

Изложенные в конце предыдущего пункта соображения позволяют привести лишь отдельные примеры неразрешимых в радикалах уравнений над полем рациональных чисел. При этом для степеней, больших пяти, получаются обязательно приводимые уравнения. Таким образом, вопрос о существовании неразрешимых в радикалах неприводимых уравнений степеней, больших пяти, остается для нас пока открытым. Кроме того, остается открытым вопрос о существовании неразрешимых в радикалах уравнений (хотя бы приводимых) над полями Р, отличными от поля рациональных чисел. Для каждого конкретного поля Р (по крайней мере, если оно состоит только из действительных чисел) примеры таких уравнений можно пытаться построить, пользуясь теоремой, доказанной в предыдущем пункте (при этом, конечно, нужно предполагать, что поле Р не слишком велико, так как, например, над полем действительных чисел любое уравнение разрешимо в радикалах, ибо любой многочлен разлагается на линейные и квадратичные множители). Основная трудность здесь состоит в доказательстве неприводимости. Так как для произвольных полей не существует никаких критериев неприводимости, то на этом пути нельзя надеяться получить никаких общих результатов.

Ввиду этих затруднений целесообразно вопрос о разрешимости в радикалах любого уравнения данной степени n над данным полем Р поставить несколько в иной плоскости, заменив его вопросом о разрешимости в радикалах общего уравнения степени над полем Р. При этом под общим уравнением степени над полем Р мы понимаем уравнение

где — независимые переменные, которые мы мыслим пробегающими независимо друг от друга все элементы поля Р.

На этом пути в первую очередь нужно определить, что значит выражение «уравнение (1) разрешимо в радикалах», так как определение разрешимости в радикалах, которым мы пользовались выше (для уравнений с числовыми коэффициентами) в этом случае неприменимо.

Первое, естественно возникающее определение разрешимости в радикалах общего уравнения (1) можно сформулировать следующим образом: уравнение (1) разрешимо в радикалах над полем если существует такая формула:

содержащая, кроме знаков арифметических действий, только знаки что при любом выборе значений коэффициентов уравнения (1) число является корнем уравнения (уже числового!):

(ввиду многозначности операции V нужно при этом оговорить, какие имеются в виду значения корней . В формулу (2) могут, конечно, входить и некоторые постоянные числа. Естественно при этом требовать, чтобы эти числа принадлежали полю Р.

При этом понимании разрешимости в радикалах общего уравнения легко видеть, что если общее уравнение степени разрешимо в радикалах над полем Р, то и любое (числовое) уравнение над полем Р разрешимо в радикалах (в нашем прежнем смысле). Отсюда, в частности, следует, что над полем рациональных чисел общее уравнение степени неразрешимо в радикалах.

Изложенное определение разрешимости в радикалах общего уравнения имеет тот недостаток, что оно совершенно формально и, по существу, никак не связано с общими понятиями теории Галуа. Поэтому, оставаясь на этой точке зрения, мы не в состоянии применить развитую выше теорию к решению вопроса о разрешимости в радикалах общего уравнения над произвольным полем.

Более содержательная точка зрения состоит в рассмотрении общего уравнения (1) над полем всех рациональных дробей от переменных (имеющих коэффициенты в поле Р).

Как было сказано в ч. I, гл. 1, п. 1, вся развитая выше теория применима не только к числовым полям, но и к любым подполям некоторого алгебраически замкнутого поля (характеристики 0). Поэтому, если мы, рассматривая уравнение (1) над полем этим применить к нему теорию Галуа, мы должны доказать, что поле содержится в некотором алгебраически замкнутом поле. Если это будет доказано, то понятие разрешимости в радикалах, так же как и найденный выше критерий разрешимости, будет автоматически применимо к общему уравнению (1). Следовательно, определив группу Галуа этого уравнения, мы немедленно решим вопрос о его разрешимости в радикалах. Детальному проведению этих соображений будет посвящена следующая глава.