Научная библиотека

§ 3. Гомоморфизм

1. Определение.

Пусть G — группа и S — другая группа (или полугруппа). Пусть каждому элементу а из G сопоставлен некоторый элемент из S, т. е. дано отображение G в S. Отображение называется гомоморфным или гомоморфизмом G в S, если произведению элементов из G соответствует произведение их образов, т. е. , где — образ неб при отображении При этом, вообще говоря, не предполагается, что образы элементов G заполняют все S, и не предполагается, что различным элементам из G соответствуют обязательно различные элементы из S, т. е. при гомоморфном отображении элементам из G разрешается «склеиваться».

Предложение 1. Гомоморфным образом группы G является группа. Образом единицы группы G является единица образа и взаимно обратным элементам G соответствуют взаимно обратные образы.

Доказательство. Равенство означает, что произведение двух элементов из принадлежит Ассоциативность следует из ассоциативности в G и S. Равенство показывает, что есть левая единица для . Наконец, показывает, что есть левый обратный элемент для . Этого уже достаточно (предложение 2 из § 1) для заключения, что есть группа. Чтобы избежать ссылки на довольно сложно доказываемое предложение 2, достаточно было бы рассмотреть еще равенства

Заметим, что если S есть только полугруппа, а не группа, то не обязана быть единицей для всей 5. Однако является единицей для или для любой группы, содержащейся в S и содержащей

Введем еще два полезных термина. Гомоморфизм группы G, образом которого является все множество S, называется гомоморфизмом G на S («на» вместо ) или эпиморфизмом. Гомоморфизм G в S, при котором различным элементам из G сопоставляются различные элементы в S, называется мономорфизмом или вложением G в S. Ясно, что при мономорфизме имеется взаимно однозначное соответствие между элементами G и их образами, сохраняющееся при умножении, так что при мономорфизме группа G и ее образ изоморфны. Гомоморфизм G в S, являющийся одновременно эпиморфизмом и мономорфизмом, есть, очевидно, изоморфизм G и S.

2. Первая теорема о гомоморфизме.

Пусть гомоморфное отображение группы G на группу S. Множество всех элементов из G, имеющих один и тот же образ называется полным прообразом элемента и обозначается (следует помнить, что ) является, вообще говоря, множеством элементов G, а не одним элементом). Полный прообразединицы группы S называется ядром гомоморфизма.

Предложение 2. Ядро гомоморфизма группы G на группу S является нормальной подгруппой группы

Доказательство. Введем обозначение Н для ядра. Если , то ибо . Если и то ибо Наконец, если , то ибо

Предложение 3. В условиях предложения 2 полные прообразы элементов из S являются классами смежности по ядру гомоморфизма.

Доказательство. Если а и b принадлежат одному классу смежности по Н, то при гей, и тогда Обратно, если то так что и, конечно, .

Теорема 4 (первая теорема о гомоморфизме). Гомоморфный образ группы изоморфен ее факторгруппе по ядру гомоморфизма. (Формулировка этой теоремы является пугалом для неосведомленных, так как состоит практически из одних терминов.)

Доказательство. Между образами при гомоморфизме и элементами факторгруппы имеется взаимно однозначное соответствие, в силу предложения 3. Оно сохраняется при умножении, ибо

Естественно встает вопрос — любая ли нормальная подгруппа может быть принята за ядро гомоморфизма. Ответ положительный. Отображение группы G на факторгруппу по нормальной подгруппе Н, заключающееся в том, что каждому элементу группы G сопоставляется содержащий его класс смежности, есть гомоморфизм, и его ядро совпадает с .

Это непосредственно следует из определения умножения классов смежности как элементов факторгруппы. Этот гомоморфизм G на называется естественным гомоморфизмом. Первая теорема о гомоморфизме утверждает, что любой гомоморфизм в основном (формальнее — с точностью до изоморфизма) не отличается от естественного гомоморфизма группы на ее факторгруппу по ядру гомоморфизма.

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть дана циклическая группа G порядка Пусть — ее подгруппа, порожденная элементом где а — элемент, порождающий G. Ясно, что порядок равен и порожденная им группа состоит из элементов . Представителями смежных классов G по могут служить . Умножение смежных классов сводится к сложению показателей по модулю к, ибо порождает . Таким образом, здесь факторгруппа изоморфна циклической группе порядка

Пример 2. Пусть G — группа по умножению невырожденных квадратных матриц над полем Р, S — полугруппа элементов поля Р относительно умножения и — сопоставление каждой матрице из G ее определителя. Это отображение есть гомоморфизм, так как определитель произведения матриц равен произведению определителей. Здесь образ состоит из всех элементов поля Р, кроме нуля, ибо любой элемент а из Р есть определитель матрицы, отличающейся от единичной тем, что одна из единиц на диагонали заменена на а. Ядром отображения является группа матриц с определителем 1, так что эта группа есть нормальная подгруппа группы всех невырожденных матриц (в этом мы убедились раньше прямым подсчетом). Классы смежности по ядру составляют матрицы, имеющие один и тот же определитель.

3. Гомоморфные образы подгрупп.

Предложение 5. Пусть и К — подгруппы группы G, причем Я — нормальная подгруппа. Тогда НК является подгруппой G и

Доказательство. Пусть причем . Тогда причем , ибо — нормальная подгруппа, и . Следовательно, НК. Далее, пусть принадлежат НК, причем и принадлежат принадлежат К. Тогда , где в силу нормальности Н и так что . Предложение доказано.

Заметим, что произведение двух подгрупп, из которых ни одна не является нормальной, вообще говоря, не обязано быть подгруппой. Так, если состоит из диагональных невырожденных матриц состоит из трех матриц: ее квадрата и ее куба то НК состоит из матриц вида

Объединение этих трех множеств матриц не образует группы, ибо при матрица

не входит в это множество.

Теорема 6 (вторая теорема о гомоморфизме). Пусть Н и подгруппы группы G, причем Н — нормальная подгруппа. Тогда изоморфна

Доказательство. Рассмотрим какой-либо гомоморфизм группы G на группу S с ядром Н, например, естественный гомоморфизм G на Образы элементов подгруппы К составят, очевидно, некоторую подгруппу Р группы S, являющуюся гомоморфным образом К при отображении совпадающем с на К. Ядром отображения является, очевидно, пересечение группы К с ядром Н гомоморфизма . Поэтому Р изоморфна . С другой стороны, если является образом элемента с , то полный прообраз есть смежный класс Не, и объединение всех этих прообразов есть подгруппа НК группы G. Поэтому образ НК при гомоморфизме снова совпадает с Р и, так как ядро Н гомоморфизма содержится в группе НК, группа Р изоморфна НК/Н. Отсюда уже следует, что факторгруппы и НК/Н изоморфны, что и требовалось доказать.

4. Подгруппы факторгруппы.

Пусть Н — нормальная подгруппа группы G и К — какая-либо промежуточная подгруппа, т. е. . Тогда Н есть нормальная подгруппа для К и факторгруппа имеет смысл. Ясно, что есть подгруппа группы

Если же задана некоторая подгруппа L факторгруппы то, «рассыпав на элементы G» классы смежности, из которых составлена L (точнее — построив объединение элементов, составляющих классы смежности, из которых состоит L), мы получим множество К элементов группы G, которое, очевидно, будет подгруппой группы G и Таким образом, между подгруппами факторгруппы и промежуточными между G и Н подгруппами имеется естественное взаимно однозначное соответствие.

5. Третья теорема о гомоморфизме.

Теорема 7. Пусть имеются два гомоморфизма группы G на группы причем ядро содержит ядро Тогда существует гомоморфизм группы на группу такой, что при любом

Переформулируем эту теорему в понятиях и терминах, имеющих широкое применение в некоторых разделах современной алгебры.

Изобразим эпиморфизмы стрелками:

Получится рисунок, называющийся диаграммой с отображениями. В теореме утверждается, что если ядро содержится в ядре то существует эпиморфизм группы на такой, что . В терминах диаграмм это означает, что исходную диаграмму можно замкнуть эпиморфизмом , т. е. перейти к диаграмме,

причем так, что получившаяся диаграмма будет коммутативной, т. е. при «движении» из G в по стрелке и по составному пути, состоящему из стрелок будет получаться одинаковый результат.

Употребление коммутативных диаграмм очень облегчает рассуждения в ситуациях, где одновременно рассматривается много отображений (в частности, гомоморфизмов). В нашей достаточно простой ситуации в использовании языка диаграмм необходимости нет.

Доказательство теоремы. Возьмем любой элемент и любой его прообраз . Все прообразы элемента отличаются множителями из ядра и, так как ядро содержится в ядре их образы в будут совпадать с . Таким образом, мы построили отображение Обозначим его через , т. е. положим Ввиду того, что любой элемент является прообразом некоторого мы видим, что так что Произведению элементов из соответствует произведение их прообразов с точностью до множителей из ядра содержащегося в ядре , так что есть гомоморфизм Наконец, любой элемент у из есть образ некоторого элемента из и в свою очередь, есть прообраз некоторого . Поэтому любой элемент есть при так что есть гомоморфизм на , т. е. эпиморфизм. Теорема доказана. (Рассуждения, составившие доказательство теоремы, удобно проследить на диаграмме.)

Пусть теперь — естественные гомоморфизмы группы G на факторгруппы причем

Тогда из теоремы 6 есть гомоморфизм на Ясно, что его ядром является . Поэтому верна следующая теорема.

Теорема 8. Пусть , где нормальные подгруппы в группе G. Тогда есть нормальная подгруппа группы изоморфна .

Разумеется, теорему 8 нетрудно доказать и непосредственно, исходя из рассмотрения классов смежности, из которых составлены упомянутые в условии факторгруппы.

Теорему 7 можно рассматривать также как следующее свойство «универсальности» факторгруппы. Пусть Н — нормальная подгруппа группы G. Тогда любой образ G при гомоморфизме, при котором элементы группы Н отображаются в единицу, является гомоморфным образом группы Для того чтобы в этом убедиться, достаточно положить, что есть естественный гомоморфизм G на — какой-то гомоморфизм, при котором элементы Н отображаются в единицу. Тогда ядро содержит Н, т. е. ядро и по теореме 7 образ есть гомоморфный образ факторгруппы

6. Наименьшая подгруппа, содержащая данное множество элементов.

Предложение 9. Пусть дана группа G и некоторое множество S ее элементов. Тогда существует наименьшая подгруппа группы G, содержащая множество S (т. е. содержащаяся во всякой другой подгруппе, содержащей ).

Мы дадим два доказательства этого предложения.

1-е доказательство. Из свойств, характеризующих подгруппу (предложение 5 из § 1), ясно, что пересечение любого множества подгрупп группы G есть подгруппа группы G. Рассмотрим множество всех подгрупп, содержащих S. Оно непусто, так как ему принадлежит сама группа G. Пересечение всех подгрупп этого множества является подгруппой. Она содержит S и содержится в любой подгруппе, содержащей S.

2-е доказательство. Рассмотрим множество Множество Т содержит S и вместе с каждым своим элементом Содержит его обратный. Пусть Н есть множество всех (конечных, разумеется) произведений элементов множества Т. Ясно, что произведение двух элементов из Н снова принадлежит Н и элемент, обратный к элементу , тоже принадлежит а множество Т вместе с каждым элементом содержит обратный. Таким образом, Н есть подгруппа группы Q. Далее, Н содержит S, ибо среди его элементов имеются все «одноэлементные произведения» в частности, элементы из S. Наконец, любая подгруппа, содержащая S, содержит и множество обратных элементов тем самым и множество Т и все произведения, составленные из элементов Т, т. е. всю подгруппу Н,

Возможно, что наименьшая подгруппа, содержащая множество S, есть вся группа G. В этом случае говорят, что множество S порождает группу G и элементы множества S называются порождающими G или образующими. Так, циклическая группа порождается одним элементом. Нетрудно видеть, что для симметрической группы всех подстановок элементов можно взять две образующих — транспозицию и круговую подстановку всех элементов. Действительно, и т. д. Таким образом, в группе, порожденной подстановками стит, содержатся все транспозиции соседних элементов, следовательно, и все транспозиции и все подстановки. Группа, которая порождается конечным множеством образующих, называется конечно порожденной. Класс конечно порожденных групп довольно обширен, и в него входят, очевидно, все конечные группы.

7. Наименьшая нормальная подгруппа, содержащая данное множество элементов.

Предложение 10. Пусть дана группа G и некоторое множество ее элементов. Тогда существует наименьшая нормальная подгруппа группы G, содержащая множество

Доказательство. Рассмотрим множество и множество U, состоящее из всех элементов Т и всех с ними сопряженных в G. Множество U содержит вместе с каждым элементом обратный и все с ним сопряженные, ибо и . Пусть есть множество всех произведений а элементов множества U. Тогда есть подгруппа группы G и, более того, нормальная подгруппа, ибо при любом будет Конечно, содержит S. Далее, каждая нормальная подгруппа, содержащая S, должна содержать все обратные элементы к элементам S, все сопряженные в G с элементами из S и с обратными к ним элементами и все их произведения, т. е. всю группу . Таким образом, есть наименьшая из нормальных подгрупп группы G, содержащих множество

Предложение 10 можно было доказать аналогично первому доказательству предложения 9. Для этого надо воспользоваться очевидным фактом, что пересечение любого множества нормальных подгрупп есть нормальная подгруппа, затем рассмотреть множество всех нормальных подгрупп, содержащих S, и взять их пересечение. Это и будет, очевидно, наименьшая из нормальных подгрупп, содержащих

Построенная нормальная подгруппа обладает тем свойством, что гомоморфизм группы G с ядром отображает все элементы из S в единицу.

Более того, гомоморфизм с ядром обладает следующим свойством универсальности: любой гомоморфный образ группы G, в котором образами всех элементов из S является 1, есть гомоморфный образ группы (т. е. образа группы G при гомоморфизме с ядром Н).

Действительно, ядро гомоморфизма, при котором все элементы из S отображаются в 1, содержит и, следовательно, Т, U и все произведения элементов из U, т. е. всю нормальную подгруппу Н. Следовательно, образ G при гомоморфизме с ядром есть гомоморфный образ группы в силу замечания об универсальности факторгруппы, которое было сделано в связи с теоремами 7 и 8.

8. Коммутант группы.

Выражение где а и b — элементы группы G, носит название коммутатора элементов а и b. Пусть Тогда так что коммутатор z играет роль как бы поправочного множителя при перестановке элементов а и b. Поэтому для того чтобы а и b были перестановочны, необходимо и достаточно, чтобы их коммутатор был равен 1. Подмножество группы G, состоящее из всевозможных коммутаторов и их конечных произведений, носит название коммутанта группы G. Так как элемент, обратный к коммутатору: сам является коммутатором, коммутант есть подгруппа группы G, порожденная множеством коммутаторов. Далее, элемент сопряженный с коммутатором, есть тоже коммутатор. Действительно, Поэтому коммутант есть нормальная группа группы G. Его принято обозначать

Факторгруппа группы G по коммутанту абелева. Действительно, все коммутаторы элементов группы G находятся в ядре естественного гомоморфизма группы G на факторгруппу по коммутанту и, следовательно, образы любых двух элементов группы G имеют единичный коммутатор, т. е. коммутируют.

При любом гомоморфизме группы G в абелеву группу образ является гомоморфным образом факторгруппы по коммутанту. Действительно, коммутаторы всех элементов G при гомоморфизме Ф отображаются в 1, т. е. принадлежат ядру гомоморфизма, которое, тем самым, содержит коммутант. В силу свойства универсальности факторгруппы отсюда следует, что образ группы G при гомоморфизме есть гомоморфный образ факторгруппы по коммутанту.

9. Центр группы.

Центром группы G называется множество ее элементов, каждый из которых коммутирует со всеми элементами группы

Пусть а принадлежит центру и с — произвольный элемент группы G. Тогда Умножив это равенство слева и справа на получим так что тоже принадлежит центру. Далее, если а и b принадлежат центру, то при произвольном тоже принадлежит центру.

Таким образом, центр есть подгруппа группы G. Из равенства при любом следует, что центр является нормальной подгруппой группы