6. Вложение ассоциативной алгебры в алгебру матриц.

Теорема 2. Ассоциативная алгебра с единицей размерности над полем К изоморфна некоторой подалгебре алгебры квадратных матриц порядка п. Если единицы нет, то возможно погружение в том же смысле в алгебру матриц порядка или

Доказательство. Пусть — оператор левого умножения на элемент в ассоциативной алгебре А размерности n. Из ассоциативности следует, что умножить слева на все равно, что сперва умножить на у, потом на Это значит, что (при левой записи операторов), т. е. что отображение есть не только линейное отображение пространства алгебры А в пространство операторов, но и гомоморфизм алгебры А в алгебру операторов. Ядро этого гомоморфизма состоит из тех элементов , которые аннулируют все элементы алгебры при умножении слева, т. е. таких, что при всех Если таких элементов нет в алгебре А, кроме нуля, то отображение - есть изоморфное отображение алгебры на подалгебру алгебры линейных операторов, состоящую из операторов левого умножения. В свою очередь, алгебра всех линейных операторов, действующих в пространстве алгебры А, изоморфна алгебре квадратных матриц порядка . Ясно, что если алгебра содержит 1, то и ядро отображения состоит только из нуля. Поэтому для алгебр с единицей теорема доказана.

Если же ядро нетривиально, то перейдем к алгебре А посредством внешнего присоединения единицы. Обозначим через оператор умножения на в алгебре А. Ясно, что снова при любых . Но на этот раз ядро гомоморфизма состоит только из нуля, ибо из следует . Таким образом, отображение есть изоморфизм алгебры А в алгебру операторов, действующих в пространстве алгебры , которая, в свою очередь, изоморфна алгебре матриц порядка