7. Теорема о тождестве.

Пусть, по-прежнему, А — коммутативная область целостности и — кольцо полиномов над А.

Теорема 6 (о тождестве). Если А содержит бесконечно много элементов, то два полинома принимающие одинаковые значения при всех равны.

Доказательство. Допустим, что разность отлична от нуля, так что при Возьмем попарно различные элементы си кольца А. Тогда, в силу условия теоремы, так что полином степени имеет более чем корней: Это невозможно. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Здесь было существенно, что кольцо А имеет бесконечно много элементов. Так, если есть поле вычетов по модулю и - -полиномы из то Полиномы принимают одинаковые значения при всех элементах кольца и тем не менее они различны. Их разность есть отличный от нуля полином, все значения которого в А равны 0.

8. Алгебраически замкнутое поле. Поле К называется алгебраически замкнутым, если любой полином выше чем нулевой степени имеет по крайней мере один корень в поле К.

В дальнейшем будет доказана так называемая «основная теорема алгебры», утверждающая, что любой полином с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один комплексный корень. Иными словами, основная теорема алгебры утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. По существу, эта теорема принадлежит скорее к математическому анализу, чем к алгебре, так как для ее доказательства нужно привлечение средств анализа. Она будет доказана в гл. IX.

Другие знакомые нам поля не замкнуты алгебраически. Так, в поле Q рациональных чисел полином не имеет корней, в поле Р действительных чисел не имеет корней полином . Нетрудно установить, что поля вычетов по простым модулям тоже не алгебраически замкнуты.

Теорема 7. В алгебраически замкнутом поле любой полином имеет разложение на линейные множители вида и такое разложение единственно.

Доказательство. Оба утверждения теоремы будем доказывать методом математической индукции по степени полинома.

Начнем с доказательства возможности разложения. Полином первой степени при в любом поле имеет корень

Пусть теперь . В силу алгебраической замкнутости имеет по крайней мере один корень и, следовательно, — полином степени. В силу индуктивного предположения откуда

Теперь докажем единственность разложения, снова по индукции. При она очевидна: если то откуда ибо

Пусть теперь и имеются два разложения: . Положив получим

Из равенства нулю произведения заключаем о равенстве нулю одного из сомножителей. Так как должен обращаться в нуль один из следующих сомножителей и, без нарушения общности, можно считать, что иначе можно изменить нумерацию элементов Итак, и

Так как кольцо полиномов над полем есть область целостности, можно сократить обе части равенства на . Получим

В силу индуктивного предположения эти разложения совпадают. Следовательно, совпадают и исходные разложения Теорема доказана полностью.

Среди сомножителей в разложении

могут быть равные. Соединив их в виде степеней, получим разложение в виде

где уже попарно различны.

Ясно, ЧТО являются корнями полинома и других корней в поле К не имеет. Показатели называются кратностями соответствующих корней.

Корни кратности 1 называются простыми корнями, корни кратности 2 — двойными или двукратными, и т. д.

Из последней формы разложения полинома на линейные множители следует, что в алгебраически замкнутом поле число корней полинома равно его степени, если условиться считать каждый корень столько раз, какова его кратность.