Научная библиотека

3. Закон инерции квадратичных форм.

Теорема 3. Если квадратичная форма преобразована двумя способами к каноническому виду, то число квадратов новых переменных с положительными коэффициентами будет одинаково, так же как число квадратов новых переменных с отрицательными коэффициентами. Иными словами, число положительных и отрицательных коэффициентов не зависит от способа приведения формы к каноническому виду.

Доказательство. Пусть дана форма, приведенная к каноническому виду двумя способами:

Считаем, что все и 0, положительны. Пусть исходные переменные связаны с новыми посредством следующих невырожденных преобразований:

Допустим, что число положительных коэффициентов не одинаково. Будем считать, для определенности, что Положим . Все - являются линейными формами от . Таким образом, написанная совокупность равенств есть система линейных однородных уравнений относительно . Число неизвестных равно , число уравнений равно . Поэтому система имеет нетривиальные решения. Пусть — одно из них. Соответствующие значения для обозначим через Заметим, что . Соответствующие значения для обозначим через . Эти значения не равны одновременно нулю (иначе равнялись бы нулю ), но . Поэтому среди чисел имеются отличные от нуля.

Из представления имеем:

Из другого представления:

Последнее неравенство строгое, ибо среди имеются отличные от нуля. Мы пришли к противоречию, так что предположение о различии числа положительных коэффициентов неверно.

Для установления равенства числа отрицательных коэффициентов достаточно перейти к форме и ее каноническим представлениям

и применить уже доказанное утверждение о равенстве положительных коэффициентов. Теорема доказана полностью.

Заметим еще, что если

то можно дать формулу для числа отрицательных коэффициентов в канонической форме. Именно, оно равно числу перемен знаков в ряду чисел

Действительно, коэффициенты в канонической форме, получающейся при преобразовании с правой унитреугольной матрицей, равны

так что число отрицательных среди них равно указанному выше числу перемен знаков.