3. Прямая сумма подпространств.

Сумма двух подпространств Р и Q называется прямой суммой, если представление любого вектора из в виде суммы вектора из Р и вектора из Q однозначно, или, что то же самое, из равенства и при следует Прямая сумма обозначается Говорят, что если то 5 разлагается в прямую сумму своих подпространств Р и

Предложение 2. Для того чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы

Действительно, если сумма прямая и то при и, следовательно, Обратно, если При то . В левой части — вектор из Р, в правой — вектор из Q, следовательно, это — нулевой вектор и Сумма прямая.

Предложение 3. Для того чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов Р и Q составляло базис

Ясно, что объединение базисов Р и Q порождает Далее, выражая через базисы Р и Q векторы в равенстве и мы получим равную нулю линейную комбинацию векторов объединения базисов Р и Q, и она может быть только тривиальной в том и только в том случае, когда объединение базисов Р и Q образует линейно независимую совокупность векторов.

Понятие суммы подпространств естественно распространяется на любое конечное число слагаемых подпространств. Именно, суммой называется множество сумм при . Ясно, что, сумма подпространств есть подпространство. Оно порождается объединением базисов слагаемых подпространств. Сумма подпространств называется прямой суммой, если представление ее векторов в виде однозначно или, что то же самое, из равенства при следует, что .

Заметим, что можно определить сумму бесконечного множества подпространств , как множество конечных сумм векторов из пространств Понятие прямой суммы естественно пространяется на случай бесконечного множества подпространств, но оно имеет смысл только для бесконечномерных подпространств.

Предложение 4. Для того чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы пересечение каждого из подпространств с суммой остальных состояло только из нулевого вектора.

Действительно, если сумма прямая и вектор принадлежит и сумме остальных слагаемых подпространств, то Обратно, если при всех i пересечение с суммой остальных подпространств есть нулевой вектор, то из равенства следует откуда

Предложение 5. Для того чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы объединение базисов составляло базис суммы.

Доказательство аналогично доказательству предложения 3.

Предложение 6. Для того чтобы сумма была прямой, необходимо и достаточно, чтобы и т. д., т. е. пересечение каждого подпространства с суммой предшествующих состояло только из нулевого вектора.

Необходимость следует из предложения 4. Доказательство достаточности проведем индукцией по числу слагаемых подпространств. Из следует, что если , то . В силу индуктивного предположения Базу для индукции дает случай (предложение 2).