Главная > Математика > Лекции по алгебре
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Пример.

Рассмотрим а заключение параграфа один небольшой пример. Пусть А — квадратная матрица ранга 1. Ее строки пропорциональны, так что ее можно представить в виде произведения столбца на строку Оба сомножителя ненулевые. Для определенности положим, что и . Матрицу А будем рассматривать как оператор левого умножения в пространстве столбцов. Пусть . Тогда

Поэтому является собственным вектором оператора принадлежащим собственному значению . Далее, любой вектор с компонентами, удовлетворяющими требованию , является собственным вектором при собственном значении, равном 0. Таких линейно независимых векторов существует . Пусть это будут

Если то векторы составляют базис из собственных векторов, и в этом базисе матрица оператора левого умножения на А принимает вид

Если же , то вектор В попадает в пространство, натянутое на . В этом случае ибо т. е. А нильпотентна показателя 2. В этом случае в канонический базис, кроме собственных векторов, нужно включить один корневой.

В качестве корневого можно взять любой такой вектор X, что что будет, если . Можно взять, в частности, . Тогда Вектор нужно дополнить до базиса пространства собственных векторов. Для того чтобы обеспечить линейную независимость этих векторов с вектором достаточно взять дополняющие векторы с нулевой первой компонентой и с остальными, удовлетворяющими соотношению . Таких найдется линейно независимых и не больше, ибо среди чисел имеется хотя бы одно отличное от нуля, иначе равенство было бы невозможно. В выбранном базисе матрица оператора умножения на А принимает вид

Итак, в терминах матриц, существует такая невырожденная матрица Р, что

или

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление