Научная библиотека

2. Метод непрерывных дробей.

Пусть для полинома снова известно, что он имеет один простой корень в интервале . Разложим по степеням . Мы знаем, что — с лежит в интервале (0, 1). Сделаем инверсию этого интервала посредством замены и умножим на Получим На этом этапе коэффициенты не изменяются, но только записываются в обратном порядке. Корень построенного полинома лежит в интервале . Заключим его между двумя соседними целыми числами, , и повторим процесс. Пусть .

Тогда для корня будет

причем известно, что . Заменяя на и учитывая характер изменения при этих заменах (заменяя на мы увеличиваем , уменьшаем и увеличиваем заменяя на мы уменьшаем получим границы для

Выражения, которые здесь участвуют, носят название непрерывных дробей.

Пример. Применим метод непрерывных дробей к уточнению значения корня полинома

Разложим полином по степеням . Получим . Теперь делаем замену и умножаем на . Получим . Корень этого полинома заключен в интервале (3, 4). Разложение по степеням дает Замена и умножение на дает Корень этого полинома, очевидно, больше 12 и, как легко видеть, меньше 13. Разложение по степеням дает , после замены и умножения на получим и для корня этого полинома Итак:

Отсюда получаем границы для

Границы эти довольно тесные. Действительно,

Таким образом, есть приближение к корню с избытком и отличается от корня меньше чем на 0,00033. Можно доказать, что разность таким образом построенных приближений всегда равна 1, деленной на произведение знаменателей.

Приведем еще один пример, чтобы показать одно интересное явление. Вычислим как корень полинома лежащий в интервале (1, 2). Разложим полином по степеням и сделаем замену После умножения на получим полином Этот полином имеет корень в интервале (2, 3). Разложение на степеням и замена дают, после умножения на Мы получили для у и полиномы с одинаковыми коэффициентами и нас интересуют корни из одного и того же интервала (2, 3). Следовательно, процесс будет далее повторяться без изменения, так что

Периодичность при разложении в непрерывную дробь имеет место для всех квадратичных иррациональностей, т. е. для чисел вида при целых a, b, d, причем и d не является квадратом целого числа. Это явление было обнаружено и доказано еще Эйлером.

Читателю, у которого еще сохранилось любопытство, рекомендуем найти несколько приближений к 6. Здесь, конечно, периодичности не будет, но на 6-м шагу произойдет неожиданное событие.

3. Способ Ньютона.

Этот способ основан на «основном принципе дифференциального исчисления», который, в нестрогих терминах, заключается в том, что график всякой «приличной» функции на малом промежутке изменения независимой переменной мало отличается от прямой, именно, касательной в одной из точек. Пусть с — корень дважды дифференцируемой функции и — достаточно хорошее приближение к корню. Тогда имеет место приближенное равенство

для всех достаточно близких к . Полагая получим

откуда для с получаем приближенное значение

Вообще говоря, должно быть лучшим приближением к с, чем исходное приближение

По приближению мы можем найти приближение по формуле и т. д. Ьсли последовательность сходится, то она сходится к корню полинома Действительно, пусть при . Переходя к пределу в равенстве получим , откуда

Для того чтобы выяснить, насколько близко к с должно подходить исходное приближение произведем оценку, учитывая погрешность исходного приближенного равенства, для чего рассмотрим формулу Тейлора с остаточным членом в интегральной форме:

или, после подстановки в интеграле

Положив , получим

Поделим это равенство на и перенесем первые два члена В левую часть. Получим

В левой части выражение равно приближению Итак,

Пусть выбирается в окрестности точки с, и в этой окрестности модуль ограничен снизу числом m и модуль ограничен сверху числом М.

Тогда

Умножив на получим

Поэтому, если , то . Для дальнейших риближений .

Таким образом, в этом предположении имеет место быстрая сходимость приближений в корню с. Такого рода сходимость, когда погрешность приближения равна по порядку квадрату погрешности предыдущего приближения, носит название квадратичной сходимости.

Для полиномов все проведенные выше рассуждения имеют силу не только для вычисления вещественных корней полиномов с вещественным! коэффициентами, но и для комплексных корней полиномов с комплексными коэффициентами.

Для вещественных функций имеются ситуации, когда нет необходимости выбирать начальное приближение очень близко к корню. Пусть на интервале первая и вторая производные функции f не меняют знак, а значения f на концах интервала имеют противоположные знаки. В этих предположениях функция f имеет на интервале единственный корень с.

Допустим, для определенности, что положительны на интервале . Это значит, что f возрастает и выпуклость ее графика направлена вниз (рис. 17).

Рис. 17.

Возьмем начальное приближение справа от корня (например, ).

Геометрически очевидно, что следующее приближение будет ближе к с чем и останется справа от с. Подтвердим это вычислением:

В силу возрастания f заключаем, что , но и по условию, следовательно, . Далее,

ибо положительна на всем интервале

Вычисляя далее последовательные приближения мы получим убывающую последовательность, ограниченную снизу числом с.

Рис. 18.

Рис. 19.

Рис. 20.

Она сходится и, как мы видели выше, сходится к корню который на промежутке (а, b) только один, именно, с.

Легко видеть, что если отрицательны на промежутке (а, b), то начинать приближения тоже следует справа от корня (рис. 18). Если же сохраняют на (а, b) противоположные знаки, то приближения следует начинать слева (рис. 19, 20).

Пример 1. Найти приближения к е. к положительному корню полинома

Здесь так что положительны на . В качестве начального приближения можно взять любое число, большее . В качестве можно взять Поэтому

В качестве возьмем 3/2.

Погрешность не превосходит 0,1. Следующее приближение равно 17/12. Его погрешность не превосходит . Следующее приближение равно 577/408. Его погрешность не превосходит Разложение в десятичную дробь дает

вместо

Пример 2. Уточнить значение корня полинома зная, что

Здесь . Начиная с приближения с погрешностью меньше 0,1, мы придем к приближению погрешность которого меньше 0,01, следующее приближение будет иметь погрешность меньше 0,0001, следующее даст 8 верных десятичных знаков после запятой.

Посмотрим, как уточняется приближение погрешность которого меньше 1/3000. Для него (в обыкновенных дробях). Оно приближает корень с точностью до 1/9000000, т. е. с точностью до одной единицы седьмого знака после запятой. В десятичных дробях

Метод Ньютона может применяться и к системам уравнений. Пример. Решить приближенно систему

Построив графики, найдем приближенно координаты их точки пересечения при положительных х и у. Получим начальное приближение . При этом приближении невязка в первом уравнении равна —0,11, во втором 0,3. Положим к. После подстановки получим

Числа h и k малы. Отбросив их квадраты, получим линейную систему

откуда найдем приближенные значения для h и k, которые дадут следующее приближение . Именно, так что . Невязки этого приближения равны 0,000225 и 0,52481, значительно меньше невязок для