ГЛАВА V. КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

§ 1. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду линейной подстановкой букв

1. Определение и матричная запись квадратичной формы.

Квадратичной формой называется однородный многочлен второй степени от нескольких букв. Обозначим эти буквы через . В общем виде квадратичная форма может быть записана так:

Коэффициенты в этой записи образуют треугольную матрицу. Однако эта форма записи неудобна. Если в поле (или кольце), из которого берутся коэффициенты формы, выполнимо деление на 2, то удобнее каждый недиагональный коэффициент разделить на 2 и записать два раза, при произведениях букв в обоих порядках. Запись примет вид

причем . Такую запись квадратичной формы назовем правильной.

Матрица называется матрицей квадратичной формы. Она симметрична, т. е. .

Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения.

Вынося из первой строки записи, из второй, из последней, получим

Обозначив столбец через X, получим

2. Линейное преобразование переменных в квадратичной форме.

Пусть в квадратичной форме делается линейное преобразование переменных с невырожденной матрицей: . Тогда квадратичная форма преобразуется в квадратичную форму от букв (компонент столбца У), именно, в Покажем, что форма автоматически полупилась правильно записанной. Для этого достаточно убедиться в том, что матрица ВГАВ симметрична, что легко проверяется: .

3. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду.

Теорема 1. Для любой квадратичной формы с вещественными коэффициентами можно сделать линейное преобразование переменных с невырожденной вещественной матрицей так, чтобы матрица преобразованной формы имела диагональный вид, т. е. чтобы преобразованная форма состояла только из квадратов переменных с некоторыми коэффициентами.

Говорят, что квадратичная форма имеет канонический вид, если ее матрица диагональна.

Предпошлем доказательству этой теоремы две леммы о вспомогательных преобразованиях.

Лемма 1. Если коэффициент при квадрате первой переменной равен нулю, но хотя бы один квадрат входит с ненулевым коэффициентом, то можно сделать линейное преобразование с невырожденной матрицей, после которого коэффициент при квадрате первой переменной станет отличным от нуля.

Действительно, пусть . Сделаем преобразование переменных:

т. е. примем исходные переменные за новые, изменив их нумерацию. Ясно, что это преобразование дает требуемый эффект

Лемма 2. Если все коэффициенты при квадратах равны нулю, но хотя бы один коэффициент формы отличен от нуля, то можно сделать невырожденное линейное преобразование переменных так, что после него коэффициент при квадрате одной из новых переменных окажется отличным от нуля.

Действительно, пусть , но . Сделаем преобразование

Это невырожденное преобразование, так как оно, очевидно, обратимо. Подсчитаем коэффициент при . Переменная входит только в поэтому может появиться только из членов квадратичной формы. Первые два равны нулю. Третий преобразуется в так что коэффициент при равен .

Сделав еще преобразование первого типа, добьемся того, чтобы коэффициент в позиции (1, 1) стал отличен от нуля.

Доказательство теоремы. Применим метод математической индукции по числу переменных. При форма равна так что доказывать нечего. Допустим, что для формы от числа переменных, меньшего чем , теорема доказана. Пусть

Если все коэффициенты равны нулю, то форма равна нулю, и доказывать нечего. Пусть хотя бы один коэффициент отличен от нуля. Без нарушения общности можно считать, что ибо если , то можно сделать вспомогательные преобразования, после которых коэффициент в позиции (1, 1) станет отличным от нуля.

Соединим вместе все слагаемые, содержащие и вынесем из них за скобку. Получим

Выделим теперь в первой скобке квадрат линейной формы. Получим

Здесь через обозначена квадратичная форма от

Теперь сделаем преобразование:

или, что то же самое,

Это невырожденное преобразование, после которого форма превратится в Форма зависит от переменной. В силу индуктивного предположения существует невырожденное линейное преобразование

после которого получится:

Добавим к преобразованию еще одну строку:

Это преобразование, очевидно, невырожденно, и после его применения форма

примет канонический вид:

Несколько невырожденных линейных преобразований можно заменить одним невырожденным, ибо композиции преобразований соответствует умножение матриц, а произведение невырожденных матриц невырожденно. Теорема доказана.

Заметим, что хотя мы теорему сформулировали для вещественных квадратичных форм и вещественных преобразований — именно этот случай наиболее интересен для приложений — теорема остается верной для квадратичных форм с коэффициентами из любого поля К, характеристика которого не равна 2, при преобразованиях над тем же полем К.

Рассуждение посредством метода математической индукции есть, по существу, краткая запись единообразного процесса, состоящего в повторении индуктивного перехода. Поэтому данное доказательство дает и способ преобразования квадратичной формы к каноническому виду. Рассмотрим один пример.

Положим

т. е. сделаем подстановку

Придем к форме , где . Здесь нужно вспомогательное преобразование:

после которого

Теперь делается замена

после которой придем к равенству

где

Очередная замена:

которая дает . Итак:

Результирующая подстановка:

В этом примере перед вторым шагом мы «споткнулись» о вспомогательное преобразование.

4. Ранг квадратичной формы.

В терминах матриц теорема о приведении квадратичной формы к каноническому виду означает, что для данной симметричной матрицы А существует такая невырожденная матрица В, что , где D — диагональная матрица. Обозначив получим .

Из доказательства теоремы ясно, что приведение квадратичной формы к каноническому виду может осуществляться бесконечным множеством способов — например, можно сделать произвольную линейную подстановку, а затем приступить к «выделению квадратов». Поэтому матрицы В и D определяются неоднозначно. Однако число ненулевых элементов матрицы D однозначно определено, именно, оно равно рангу матрицы А. Этот ранг называется рангом квадратичной формы.

Для доказательства установим сначала справедливость следующих предложений.

Предложение 2. Ранг произведения двух матриц (не обязательно квадратных), не превосходит ранга каждого из сомножителей.

Доказательство. Столбцы матрицы АВ являются линейными комбинациями столбцов матрицы А. Поэтому ранг АВ, равный максимальному числу линейно, независимых столбцов, не превосходит ранга А. С другой стороны, строки АВ являются линейными комбинациями строк В, поэтому ранг АВ не превосходит ранга В.

Предложение 3. Если один из сомножителей есть квадратная невырожденная матрица, то ранг произведения равен рангу другого сомножителя.

Действительно, пусть и В — невырожденная квадратная матрица. Тогда ранг С не превосходит ранга А. Но , так что ранг А не превосходит ранга С. Следовательно эти ранги равны.

Аналогичное рассуждение применимо к случаю, если левый сомножитель есть квадратная невырожденная матрица.

Из предложения 3 непосредственно следует: если ВАС, где В и С — невырожденные квадратные матрицы, то ранги матриц F и А совпадают.

Применяя это к матричному равенству

где С — невырожденная квадратная матрица, получим, что ранги D и А совпадают. Но ранг диагональной матрицы D, очевидно, равен числу ее ненулевых элементов. Итак, число ненулевых коэффициентов после приведения квадратичной формы к каноническому виду не зависит от способа приведения и равен рангу матрицы квадратичной формы.

5. Преобразование квадратичной формы к каноническому виду посредством унитреугольного преобразования переменных.

Вернемся еще раз к доказательству теоремы о приведении квадратичной формы к каноническому виду. Если на каждом шагу индуктивного рассуждения «выделение квадрата» происходит без вспомогательного преобразования, то на каждом шагу матрица преобразования имеет вид правой унитреугольной матрицы. Так как произведение правых унитреугольных матриц есть, очевидно, правая унитреугольная матрица, результирующая матрицы преобразования будет тоже правой унитреугольной.

Теорема 4. Для того чтобы квадратичная форма с невырожденной матрицей могла быть преобразована к каноническому виду преобразованием переменных с верхней унитреугольной матрицей, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц ее матрицы были отличны от нуля.

Доказательству этой теоремы предпошлем другую теорему, представляющую самостоятельный интерес.

Теорема 5. Для того чтобы квадратная невырожденная матрица представлялась в виде произведения левой унитреугольной, диагональной и правой унитреугольной, необходимо и достаточно, чтобы определители всех левых угловых субматриц были отличны от нуля. Такое представление однозначно.

Доказательство. Необходимость. Пусть

так что

Пусть, далее,

и . Тогда и, так как , должно быть .

Легко видеть, что

откуда следует, что .

Достаточность. Применим метод математической индукции по субматрицам . При утверждение теоремы тривиально. Пусть оно верно для и в этом предположении докажем его для

Разобьем матрицу и искомые на клетки, выделив блок так что

Здесь — неизвестная строка в матрице — неизвестный столбец в матрице символом 0 обозначены нулевые строки и столбцы.

Пусть . Выполняя умножение по правилу умножения блочных матриц, получим

В силу индуктивного предположения можно считать известными, обратимыми и определенными однозначно. Тогда однозначно определяются именно, .

Остается убедиться в том,что , что нужно для обратимости . Но

откуда

Теорема 5 доказана полностью.

Теперь легко доказать теорему 4. Пусть А — невырожденная матрица квадратичной формы, допускающей унитреугольное преобразование к канонической форме. Тогда , где R — правая унитреугольная матрица, левая унитреугольная. В силу теоремы 5, в части необходимости все определители верхних угловых субматриц отличны от нуля.

Обратно, если все такие определители отличны от нуля, то (в прежних обозначениях). Но А симметрична, так что . В силу однозначности разложения должно быть , т. е. , что обозначает, что квадратичная форма приводится к каноническому виду посредством линейного преобразования переменных с правой унитреугольной матрицей R.