7. Центр p-группы.

Конечная группа называется -группой, если ее порядок есть степень простого числа . Ясно, что все подгруппы -группы являются -группами и индекс любой подгруппы в -группе равен некоторой степени .

Разобьем -группу G порядка на классы сопряженных элементов. Среди классов будут одноэлементные, образованные элементами центра, причем их число не меньше 1, ибо единица группы образует одноэлементный класс. Пусть число элементов центра равно t. Все элементы, не принадлежащие центру, порождают классы сопряженных, содержащие больше одного элемента. Пусть эти классы Число элементов в каждом таком классе есть индекс централизатора любого элемента класса и, следовательно, является степенью с большим нуля показателем т.

Пусть число элементов в классе равно Подсчет числа элементов группы G как суммы чисел элементов во всех классах сопряженных дает

Из этого равенства заключаем, что t делится на , и, так как будет . Таким образом, мы доказали, что любая конечная -группа имеет нетривиальный центр. Конечно, порядок t центра равен степени .