5. Линейно эквивалентные совокупности строк.

Две совокупности строк о называются линейно эквивалентными, если каждая строка первой совокупности есть линейная комбинация строк второй совокупности и каждая строка второй совокупности есть линейная комбинация строк первой.

Предложение 9. Ранги линейно эквивалентных совокупностей строк равны.

Доказательство. Пусть — ранг второй совокупности. Это значит, что все строки второй совокупности являются линейными комбинациями базиса, состоящего из строк. Но тогда и строки первой совокупности, будучи линейными комбинациями линейных комбинаций этих строк, сами являются их линейными комбинациями. Следовательно, ранг первой совокупности не больше , т. е. ранга второй совокупности. По аналогичной причине ранг второй совокупности не больше ранга первой. Следовательно эти ранги равны.