7. Разложение на простейшие правильной рациональной дроби, знаменатель которой разложен на попарно простые линейные множители.

Пусть дана правильная дробь . Ее разложение имеет вид

Для определения коэффициентов умножим равенство на знаменатель:

Положим теперь по очереди . Получим:

Множители при коэффициентах в правых частях все отличны от нуля и легко выражаются при помощи производной полинома . Действительно,

Полагая по очереди , получим:

Принимая во внимание эти равенства, получим

и для разложения на простейшие получаем формулу

Эта формула носит название формулы Лагранжа.

Рассмотрим несколько примеров ее применения.

Пример

Здесь

и

Пример 2. Разложить над полем R дробь .

Сперва напишем разложение над . Напомним, что корни полинома лежат на единичной окружности и попарно сопряжены. Именно, с корнями , сопряжены корни . Корни попарно различны, так что формула Лагранжа применима. Имеем откуда . По формуле Лагранжа

Объединив теперь комплексно сопряженные слагаемые, получим

Пример 3. Разложить дробь на простейшие над полем вычетов по модулю

В силу теоремы Ферма все элементы поля корни полинома так что . Имеем . Следовательно,