§ 4. Эрмитовы формы

1. Определение эрмитовой формы.

Близким аналогом теории вещественных квадратичных форм при переходе к полю комплексных чисел является тефия так называемых эрмитовых форм. Эрмитовой формой называется многочлен от комплексных переменных и сопряженных вида причем предполагается, что . В частности, все диагональные коэффициенты вещественны. Напомним, что матрицей С, сопряженной с комплексной матрицей С, называется транспонированная матрица, в которой все элементы заменены комплексно сопряженными, так что

Эрмитову форму можно записать в матричных обозначениях в виде , где причем матрица А ее коэффициентов обладает свойством самосопряженности или эрмитовости. При линейном преобразовании переменных предполагается, естественно, что сопряженные преобразуются с сопряженными коэффициентами, т. е. и тогда . Эрмитова форма преобразуется по формуле

Ясно, что матрица ВАВ останется эрмитовой, ибо

Отметим, что значения эрмитовой формы при всех комплексных значениях переменных вещественны. Действительно, пусть X — некоторый столбец из комплексных чисел и . Тогда , так что f вещественно.

Определители эрмитовых матриц тоже вещественны. Действительно, .

Заметим еще, что эрмитова форма с диагональной матрицей имеет вид с вещественными . В частности, эрмитова форма с единичной матрицей есть