3. Строение однородных пространств.

Рассмотрим еще один очень важный пример внутри самой теории групп.

Пусть G — группа и — некоторая ее подгруппа. Рассмотрим множество левых классов смежности , определив на этом множестве действие группы G как правое умножение на ее элементы, т. е. положив Наг для . Это действие действительно переводит левые классы смежности в левые классы смежности, и выполнение аксиом -операторного множества тривиально.

Все классы смежности составляют одну орбиту, ибо т. е. множество левых классов смежности образует однородное пространство по отношению к правым умножениям на элементы группы

Важность этого примера состоит в том, что пространство классов смежности является изоморфной моделью для любого однородного -пространства.

Уточним сказанное.

Скажем, что -операторное множество и -операторное множество изоморфны, если группы изоморфны и имеется взаимно однозначное соответствие между элементами сохраняющееся при применении соответствующих друг другу элементов групп

Теорема 1. Любое однородное -пространство М изоморфно пространству классов смежности по некоторой подгруппе.

Доказательство. Пусть то — некоторая точка пространства М. Рассмотрим множество Я всех элементов группы G таких, которые не изменяют т. е. таких что Очевидно, что такие элементы образуют подгруппу группы G, ибо если , то — то, и если то Подгруппа называется стабилизатором точки то. Возьмем теперь любую другую точку Так как М однородно, т. е. состоит из одной орбиты, найдется элемент такой, что Выясним, какие еще элементы преобразуют Пусть

Тогда так что Таким образом, элементы из G, одинаково преобразующие точку принадлежат одному левому классу смежности по стабилизатору. Обратно, если элементы и у принадлежат одному левому классусмежности по стабилизатору, то . Таким образом, между точками однородного пространства М и левыми классами смежности по стабилизатору имеется взаимно однозначное соответствие. Оно сохраняется при умножении справа на элементы G. Действительно, если , то точке соответствует класс . Пусть тоху. Этой точке соответствует класс . Теорема 1 доказана.

Сделаем одно замечание. Мы установили, что однородное пространство изоморфно пространству левых классов смежности по стабилизатору некоторой точки выбранной произвольно. Но у разных точек стабилизаторы различны. Почему же выбор точек произволен? Для того чтобы в этом разобраться, выясним, как связаны стабилизаторы различных точек. Пусть, как и раньше, стабилизатор точки обозначен . Для любой другой точки имеем при некотором Равенство равносильно равенствам гщхг — , что имеет место в том и только в том случае, если Таким образом, стабилизатор точки есть

Изоморфное отображение группы G на себя называется автоморфизмом группы. Отображение при фиксированном есть, очевидно, отображение G на себя, причем изоморфное, ибо , т. е. оно является автоморфизмом. Такой автоморфизм называется внутренним. При этом автоморфизме подгруппа группы G переходит в сопряженную подгруппу Левый класс смежности На переходит во множество которое является левым классом смежности по подгруппе порожденным элементом . Ясно, что преобразование классов смежности по подгруппе , вызванное умножением справа на будет таким же, как преобразование классов смежности по подгруппе вызванное умножением справа на элемент . Поэтому пространство классов смежности по подгруппе изоморфно пространству классов смежности по сопряженной подгруппе

Наличие такого изоморфизма может служить объяснением того, что при доказательстве теоремы 1 можно было взять точку то и ее стабилизатор произвольно.