Научная библиотека

§ 2. Алгебра кватернионов

1. Определение.

Алгеброй кватернионов называется алгебра размерности 4 над основным полем, обладающая единицей 1 и имеющая базис со следующей таблицей умножения:

Основное поле может быть взято произвольно. Наиболее интересной для приложений является алгебра кватернионов над полем R вещественных чисел, которая и будет исследоваться в дальнейшем.

Прежде всего установим ассоциативность алгебры кватернионов. Для этого следует проверить 27 равенств (три возможности для каждого из трех множителей в равенствах ), проверяемых для базисных элементов . Мы избежим этого, установив изоморфизм алгебры кватернионов над R и некоторой алгебры матриц специального вида над С. Именно, единице 1 сопоставим единичную матрицу второго порядка, элементу i алгебры кватернионов — матрицу (здесь элемент матрицы — обычная мнимая единица, так что нами сознательно допущена путаница в обозначениях — буква i обозначает в одном контексте два разных объекта), элементу j сопоставим матрицу элементу k — матрицу

Равенства легко проверяются. Они означают, что пространство матриц, натянутое на матрицы Е, I, J, К, образует алгебру, изоморфную алгебре кватернионов.

На основании ассоциативности умножения матриц мы заключаем об ассоциативности алгебры кватернионов.

Заметим, что если за основное поле принято поле комплексных чисел, то алгебра кватернионов (над ) окажется изоморфной алгебре всех квадратных матриц второго порядка над ибо матрицы линейно независимы над и их линейные комбинации заполняют всю алгебру

2. Связь алгебры кватернионов с векторами в трехмерном евклидовом пространстве.

Пусть кватернион. Число а называется скалярной частью кватерниона.

Кватернион называется векторной частью кватерниона а. Кватернионы с нулевой скалярной частью будем называть векторами, они, естественно, изображаются как векторы трехмерного евклидова пространства.

Пусть — два вектора. Вычислим их произведение (в алгебре кватернионов)

(здесь — векторное произведение векторов ).

Таким образом, скалярной частью кватерниона оказывается скалярное произведение векторов взятое с обратным знаком. Векторная же часть кватерниона равна векторному произведению векторов Тем самым операция умножения векторов как элементов алгебры кватернионов как бы объединяет оба умножения векторов — скалярное и векторное.

Далее, легко видеть, что

Отсюда

Из последней формулы немедленно следует известное в векторной алгебре соотношение Якоби . Достаточно принять во внимание связь между ассоциативными алгебрами и алгебрами Ли (см. п. 3 § 1).

3. Алгебра кватернионов как алгебра с делением.

Пусть дан кватернион Кватернион отличающийся от a знаком векторной части, называется сопряженным с кватернионом а. Ясно, что

Умножим кватернион а на сопряженный а. Получим Поэтому, если , то . Заметим еще, что

Число называется модулем кватерниона а и обозначается через . Теперь легко установить, что каждый отличный от нуля кватернион а имеет обратный. Действительно, a) , так что обратным кватернионом для а является . Таким образом, алгебра кватернионов над полем R есть алгебра с делением.

Заметим, что здесь существенно было использовано то обстоятельство, что за основное поле принято поле R: заключение о неравенстве нулю при было бы неверно, например, для поля С или поля вычетов по простому модулю.

4. Тождество Эйлера.

Теорема 3. Модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей.

Доказательство. Сначала докажем, что кватернион, сопряженный с произведением двух кватернионов, равен произведению сопряженных кватернионов, взятых в обратном порядке. Действительно, пусть , где векторы. Тогда . Далее, . Теперь имеем откуда что и требовалось доказать.

Распишем теперь тождество через компоненты кватернионов, положив так что Получим известное тождество Эйлера:

позволяющее выразить произведение двух сумм четырех квадратов в виде суммы четырех квадратов билинейных выражений. Аналогичные тождества имеют место для сумм двух квадратов (это тождество связано с умножением комплексных чисел) и для сумм восьми квадратов. Это последнее тождество связано с умножением в так называемой алгебре Кэли — некоторой уже не ассоциативной алгебре с делением размерности 8. Оказывается, что аналогичных тождеств для сумм квадратов, кроме перечисленных при (и тривиального тождества при ), не существует.

5. Вращения трехмерного евклидова пространства.

Пусть u, v, w — тройка попарно ортогональных векторов единичной длины, ориентированная так же, как тройка i, j, k. Тогда, согласно правилу умножения векторов в алгебре кватернионов, получим . Здесь мы воспользовались тем, что векторное произведение взаимно ортогональных единичных векторов равно единичному вектору, ортогональному к ним обоим и направленному в соответствии с ориентацией базисных векторов Аналогично, . Таким образом, правило умножения векторов u, v, w ничем не отличается, кроме обозначений, от правила умножения векторов . Иными словами, отображение задает изоморфизм алгебры кватернионов на себя, т. е. автоморфизм этой алгебры.

Линейное преобразование пространства векторов, отображающее тройку i, j, k на тройку и, v, w, есть, очевидно, собственно ортогональное преобразование, ибо эти две тройки образуют ортонормальные одинаково ориентированные базисы пространства векторов. Ясно, что любое собственно ортогональное преобразование пространства векторов определяет некоторый автоморфизм алгебры кватернионов.

Все автоморфизмы получаются указанным способом. Действительно, пусть — образы i, j, k при некотором автоморфизме. Тогда . Из равенства заключаем, что кватернион и есть вектор единичной длины. Действительно, пусть , где а — скалярная часть u. Тогда откуда . Если допустить, что то , что невозможно. Поэтому и, следовательно, . По той же причине кватернионы — тоже векторы единичной длины. Далее, из того, что скалярная часть кватерниона равна нулю, мы заключаем, что векторы ортогональны. По той же причине ортогональны векторы , так что и, v, w составляют тройку попарно ортогональных единичных векторов. Ориентация этой тройки совпадает с ориентацией тройки i, k, ибо в противном случае было бы , а не .

Пусть теперь а — некоторый кватернион единичного модуля. Ясно, что отображение есть автоморфизм алгебры кватернионов и, следовательно, он осуществляет некоторое собственное вращение пространства векторов. Рассмотрим его подробнее. Пусть где а — скалярная часть а. Тогда так что можно положить . Тогда где u — вектор единичной длины (если , то , и в качестве и можно взять любой единичный вектор). Пусть теперь v — какой-либо вектор единичной длины, ортогональный вектору , и пусть Выясним, как действует автоморфизм на векторы , v, w. Ясно, что а и и коммутируют, так что Далее,

Итак, автоморфизм не меняет вектор и и поворачивает на угол плоскость, натянутую на векторы и и да (считаем положительным направление вращения от к ), т. е. вращает пространство векторов вокруг оси, проходящей через вектор на угол

Известно, что всякое собственное вращение трехмерного пространства есть поворот вокруг некоторой оси на некоторый угол, так что любое собственное вращение может рассматриваться как трансформация посредством кватерниона единичным модулем.

Заметим, что преобразование при не дает ничего нового, ибо, если положить , то при любом кватернионе х.

В любой ассоциативной алгебре с единицей обратимый элемент а порождает автоморфизм алгебры Такие автоморфизмы называются внутренними автоморфизмами алгебры. Полученный ранее результат показывает, что все автоморфизмы алгебры кватернионов внутренние.

Кватернионы единичного модуля образуют, очевидно, группу относительно умножения. Сопоставление каждому такому кватерниону вращения трехмерного пространства векторов есть, очевидно, гомоморфное отображение, ибо , т. е. произведению кватернионов отвечает произведение вращений. Ядро этого гомоморфизма состоит только из элементов ±1. Действительно, принадлежит ядру, если при любом векторе т. е. если . Положив получим а положив получим . Итак, ибо

Тем самым мы получили, что группа собственных вращений трехмерного пространства изоморфна факторгруппе группы кватерниэнов единичного модуля по подгруппе

Представление трехмерных вращений при помощи кватернионов очень удобно тем, что кватернион, связанный с вращением, определяет непосредственно его геометрические характеристики — ось вращения и угол поворота. При обычном задании вращения при помощи ортогональной матрицы для определения оси вращения и угла нужно произвести некоторые, хотя и несложные, вычисления. Закон умножения кватернионов тоже проще (по форме записи) закона умножения матриц третьего порядка.

Заметим еще, что группа кватернионов с единичным модулем изоморфна группе унитарных матриц второго порядка с определителем, равным единице. Действительно, кватерниону соответствует, в силу описанного в п. 1 изоморфизма, матрица сопряженному кватерниону — матрица

Из равенства следует , т. е. матрица унитарна. Далее, . Обратно, если матрица унитарна и то равенство дает

Таким образом, отображение осуществляет изоморфизм группы кватернионов единичного модуля и группы

6. Вращения четырехмерного пространства.

Рассмотрим четырехмерное пространство кватернионов как евклидово, с естественной метрикой: если то

Пусть — кватернион, . Покажем, что как оператор левого умножения на , так и оператор правого умножения являются ортогональными операторами. Действительно,

и

Более того, оба эти оператора собственно ортогональны. Для доказательства положим и возьмем в качестве базиса векторы , где v — какой-либо единичный вектор, ортогональный вектору Тогда

Таким образом, в рассматриваемом базисе оператор левого умножения на имеет матрицу, составленную из двух одинаковых блоков определителя . Аналогично

так что матрица оператора правого умножения на тоже имеет определитель, равный

Заметим, что в базисе оператор правого умножения имеет матрицу, состоящую из двух одинаковых блоков. Базис получается из исходного посредством собственно ортогонального преобразования координат, а базис получается из исходного посредством несобственно ортогонального преобразования координат.

Рассмотрим теперь оператор двустороннего умножения: , где у и Р — кватернионы единичного модуля. Этот оператор есть произведение собственно ортогонального оператора левого умножения на и собственно ортогонального оператора правого умножения на , поэтому он тоже собственно ортогонален.

Покажем, что любой собственно ортогональный оператор в пространстве кватернионов представляется в виде оператора двустороннего умножения.

Действительно, пусть такой оператор и пусть Тогда оставляет 1 на месте, и, следовательно, преобразует в себя ортогональное к 1 трехмерное пространство векторов, индуцируя в нем собственно ортогональный оператор. Следовательно, при некотором кватернионе единичного модуля и при

Рассмотрим (внешнее) прямое произведение G двух экземпляров группы кватернионов единичного модуля и каждому элементу этой группы сопоставим оператор Тогда произведению элементов из G соответствует произведение операторов. Действительно, пусть Элементу соответствует оператор применение которого равносильно последовательному применению операторов, соответствующих элементам и Таким образом, мы задали гомоморфное отображение группы G на группу вращений четырехмерного пространства. Ядро этого гомоморфизма состоит из таких пар , для которых при всех . Положив получим, что Из при всех следует, как мы видели в предыдущем пункте, что Итак, ядро состоит из элементов (1,1) и

Таким образом, мы доказали следующую теорему.

Теорема 4. Группа собственно ортогональных преобразований четырехмерного пространства изоморфна факторгруппе прямого произведения двух групп кватернионов единичного модуля по подгруппе, состоящей из (1,1) и

Заметим еще, что группа содержит циклическую подгруппу второго порядка, образованную операторами , где — тождественный оператор. Факторгруппа группы по этой подгруппе изоморфна, как легко видеть, прямому произведению двух групп .

Такое разложение группы ставит ее в исключительное положение среди групп . Именно, все группы при нечетном простые и факторгруппы групп по подгруппе при четном тоже простые.

Установленное разложение группы показывает, что в ней имеются два замечательных нормальных делителя, соответствующих операторам правого и левого умножения в алгебре кватернионов. Интересно охарактеризовать эти группы в терминах самой группы . Это нетрудно сделать. Выше мы видели, что каждый оператор правого умножения и каждый оператор левого умножения имеет в некотором ортонормадьном базисе матрицу, состоящую из двух одинаковых блоков второго порядка. Оказывается, что этим свойством вполне характеризуются элементы , допускающие реализацию в виде оператора правого или левого умножения. Действительно, пусть оператор обладает этим свойством.

Тогда ибо этому уравнению удовлетворяют оба блока. Отсюда следует, что каков бы ни был вектор векторы линейно независимы, порождают инвариантное двумерное подпространство и ортогональное дополнение к нему тоже инвариантно. Пусть М действует в пространстве алгебры кватернионов и пусть . Кватернион будет иметь единичный модуль и будет отличен от ±1, ибо 1 и линейно независимы. Положим Пусть v — какой-либо вектор, ортогональный векторам и и Тогда либо в базисе , либо в базисе 1, и, w, v матрица оператора М будет состоять из двух равных блоков. В первом случае М есть оператор левого умножения на , во втором — правого.

Итак, мы получили следующее.

1. Элементы имеющие в некотором ортонормальном базисе матрицу, состоящую из двух равных блоков второго порядка, разбиваются на два класса в зависимости от ориентации этого базиса. Эти два класса имеют общими элементами лишь

2. Элементы каждого класса образуют группу по умножению.

3. Элементы из разных классов коммутируют.

Прямое доказательство этих утверждений без обращения к алгебре кватернионов непросто.