§ 5. Проекция вектора на оси. Косинус угла между двумя векторами. Скалярное произведение векторов

а. Пусть вектор ОР задан своими проекциями на оси (рис. 95). Тогда решим такой вопрос. Какова проекция этого вектора на ось ON, заданную своими направляющими косинусами (мы опять берем вектор с началом в О и проектируем его на ось, проходящую через 0, но как вектор, так и ось можно, конечно, брать где угодно).

Рис. 95

Как мы видели выше, проекции нашего вектора ОР можно рассматривать как звенья векторной цепи ОА , замыкающим которой является сам вектор ОР.

Согласно теореме о проекции векторной цепи имеем

Но если — угол между вектором и осью и — длина вектора, то

Далее, вектор ОА лежит в оси наклоненной к оси ON под углом следовательно,

Вектор АК мы заменим вектором который получает параллельным переносом АК на ось Оу. Так как ось образует с осью ON угол , то

Наконец, вектор КР заменим вектором который получается параллельным переносом КР на ось . А так как ось образует с осью угол то

Итак, имеем двоякое выражение проекции вектора ОР:

Отсюда, деля на и замечая, что ввиду (3) § 4

имеем следующую формулу косинуса угла между двумя осями (или векторами):

b. Возьмем далее на оси вектор длиной с направлением, совпадающим с направлением оси. Его направляющие косинусы будут одинаковы с таковыми для оси ON, т. е. будут проекции же ею обозначим через

Применяя формулу (3) § 4, имеем

ввиду чего формула (1) дает

откуда

В левой части равенства стоит произведение длин векторов на косинус угла между ними. Оно называется скаляр ним произведением векторов и имеет большое значение в механике. Формула (3) показывает, что скалярное произведение равно сумме произведений одноимённых проекций обоих векторов,

c. Формула (3), в частности, дает выражение для — косинуса угла между двумя векторами. — через их проекции:

что ввиду (1) § 3 можно переписать еще так:

d. Выведем условие параллельности и условие перпендикулярности векторов.

Если два вектора, один с проекциями , другой — с проекциями параллельны, то при параллельном переносе их с тем расчетом, чтобы начала их совпали с точкой 0% эти векторы или совпадут, или составят продолжение один другого.

Рис. 96

Изображая тогда проекции этих векторов ребрами параллелепипедов по способу § 3, мы видим, что ввиду подобия параллелепипедов ребра параллелепипеда, диагональю которого является вектор ОР, должны быть пропорциональны ребрам параллелепипеда, диагональю которого является вектор (рис. 96):

Обратно, если имеет место эта пропорция, то параллелепипеды подобны, а потому их диагонали, т. е. векторы ОР и совпадают. Значит, пропорция (5) и выражает собою условие параллельности.

Нетрудно видеть, что условие (5) параллельпости со хранит силу и в том случае, если вектор ОР заменить ему противоположным ОР, так как от такой вамены проекции превратятся в отчего пропорция нарушится.

Замечание. Пропорция (5) есть прямое следствие пункта § 2. Действительно согласно ему все отношения (5) должны равняться одному и тому же числу

Особенно следует отметить случай когда какая-либо проекция одного из векторов равна нулю, например, пусть . Это вначит, что вектор ОР перпендикулярев оси Ох. Но тогда для параллельности векторов необходимо, чтобы и второй вектор был перпендикулярен оси

Итак, пропорцию (5) можно условно писать и в том случае, когда какое-либо ее члены — нули. Но тогда следует помнить, что при параллельности векторов члены, составляющие одно отношение в пропорции (5), могут обращаться в нуль только одновременно.

f. Условие перпендикулярности векторов получим непосредственно из формулы (3), Именно должно быть и потому

это и есть условие перпендикулярности,

g. Примеры. В пункте f § 4 нами был рассмотрен вектор с направляющими косинусами 1/3; —2/3; 2/3. Найдем проекции на направление этого вектора другого век тора с проекциями 6, 3, 2,

Согласно формуле (1) эта проекция будет

Найдем, далее угол между направлением которое только что рассмотрели, т. е. с направляющими косинусами 1/3, —2/3, 2/3, и направлением, образующим о осями равные острые углы. Последнее как следует из примера в пункте f § 4 имеет направляющие косинусы

Поэтому согласно формуле (2)

Найдем далее скалярное произведение векторов, из которых один имеет проекции а другой — проекции 6, 7, 6.

Имеем

Наконец найдем косинус угла между векторами о проекциями 2, 1, 2 и 3, 2, 6,

Имеем

h. Векторы с проекциями параллельны ввиду того, что

Векторы о проекциями параллельны ввиду того, что

Векторы с проекциями параллельны ввиду того, что

Векторы с проекциями перпендикулярны ввиду что