Решения к главе 6

1, а. Если - простое нечетное и то а по модулю q принадлежит одному из показателей . При имеем при имеем ; — целое.

b. Если -простое нечетное и , то . Поэтому а по модулю q принадлежит одному из показателей Случаи невозможны. При имеем . При имеем ; — целое.

c. Простыми вида будут, например, простые делители числа Пусть — какие-либо k простых чисел вида число имеет простой делитель вида отличный от

Если - простое и , то Поэтому 2 по модулю q принадлежит показателю и, следовательно, — целое.

2. Очевидно, а по модулю принадлежит показателю я. По этому — делитель ).

3, а. Пусть после операции снова получается исходный ряд. Очевидно, операция равносильна следующей: в ряде

берутся числа, стоящие на местах. Поэтому на месте в исходном ряде должно стоять число 2. Следовательно, указанное в вопросе условие необходимо. Достаточность этого условия очевидна.

b. Решение аналогично решению вопроса а.

4. Решение сравнения принадлежит показателю вида , где При этом 6 кратно d тогда и только тогда, когда . Выписав все значений и взяв получим где -искомое число

5, а. Здесь (§ 3; пример с, § 5) должно быть Это требование выполняется при

b. Здесь не должно быть Это требование выполняется при указанных значениях

c. Здесь не должно быть Это требование выполняется при

d. Здесь не должно быть

Это требование выполняется при

6, а, а) При , кратном теорема очевидна. Пусть не делится на Числа если отвлечься от порядка их следования, по модулю сравнимы с числами , где - первообразный корень по модулю . Поэтому

) Имеем

откуда (вопрос ) и получается указанный результат.

b. При имеем

7, Имеем

8, a) Имеем

При данных суммирование по дает нуль, в зависимости от того, будет ли или нет. Поэтому

) Имеем

где - число решений сравнения - число решений сравнения ). Здесь не превосходит К (вопрос 11, гл. IV), а сумма всех значений равна Поэтому

Аналогично находим

Следовательно (вопрос ),

у) Сравнение равносильно системе

Пусть - индексы числа по модулю (g, § 6), сравнение равносильно системе Первое сравнение этой системы имеет, не более 2 решений, второе — не более решений. Поэтому сравнение имеет не более решений. Согласно b, § 5 каждое из сравнений имеет не более решений.

Следовательно, Отсюда при постоянном будем иметь (вопрос 11, с, гл. II)

9, а. Имеем

где - число решений системы

когда и у независимо друг от друга пробегают значения . Поэтому

Нетрудно видеть, что при при . Поэтому

Кроме того, находим . Следовательно,

b. Имеем

Часть правой части, отвечающая численно (вопр. 8). А оставшаяся часть численно не превосходит

c. Имеем

Часть правой части, отвечающая равна А оставшаяся часть численно меньше

Решения к главе 7

1, а) Определив при число сравнением , находим

Р) Имеем

При суммирование по дает При не равном мирование по (вопрос а) дает —1. Поэтому

2, а) Имеем

P) При теорема тривиальна. При имеем

у) Очевидно, А и В — целые, причем Находим вопрос

При не равном нулю, суммирование по дает нуль. Поэтому

) Имеем

Часть правой части, отвечающая равна — v. А оставшаяся часть численно меньше (вопрос ).

3, а) При сравнение возможно лишь в случае, когда делится на , причем тогда это сравнение имеет решений. Следовательно,

где пробегает числа приведенной системы вычетов по модулю с условием Поэтому

) Полагая

имеем

При суммирование по v дает нуль. Поэтому

Y) Полагая

находим

При суммирование дает нуль. Поэтому

в) Пусть -каноническое разложение числа Полагая

и определяя из условия имеем (вопросы 12, d и 9, а, гл. III)

Но при имеем

При имеем

При имеем наконец, сводится к случаю Следовательно, при некотором С, зависящем только от , будем иметь

4, а) Имеем

Часть правой части, отвечающая равна нулю. А оставшаяся часть численно не превосходит .

Р) Имеем

Часть правой части, отвечающая Доставшаяся часть

численно меньше

у) Теорема будет доказана, если при будет показано, что сумма

будет меньше, чем Но часть суммы T, отвечающая равна нулю. А оставшаяся часть численно меньше, чем

6) Взяв и заставляя пробегать значения получим (вопрос 17, а, гл. II)

здесь - число значений с условием поэтому Далее, - число значений кратных d. Поэтому

е) Имеем

Часть правой части, отвечающая равна . А оставшаяся часть численно меньше

) Допустим, что невычетов, не превосходящих А, нет. Число невычетов степени среди чисел

можно оценить двумя способами: исходя из формулы вопроса ) и исходя из того, что невычетами могут быть лишь числа, делящиеся на простые, большие А.

Получим

Невозможность последнего неравенства при всех достаточно больших и доказывает теорему.

5. Имеем

где и и v пробегают приведенные системы вычетов по модулю т. Отсюда

где имеем (вопрос 8, а), гл. VI и вопрос 11, гл. IV)

Поэтому

в, а) Пусть — каноническое разложение числа Пусть пробегают значения, подчиненные условиям:

Пусть пробегают значения

Легко видеть, что пробегает

значений, а пробегает

значений, причем

Теперь, рассмотрим сумму

где какой-либо первообразный корень по модулю и t пробегает приведенную систему вычетов по модулю . Очевидно, имеем

С другой стороны, находим

где — число решений сравнения , а - число решений сравнения . Очевидно, (вопрос 8, а), гл. VI). Поэтому

Имеем

Часть правой части этого равенства, отвечающая равна

Оставшая часть численно не превосходит

Поэтому