§ 3. Приложение к построению графиков

а. Если требуется построить график функции на данном отрезке , то для уяснения формы графика, очевидно, достаточно построить лишь точки, отвечающие значениям и, кроме того, тем значениям из интервала , для которых

Следовательно, кроме начальной и конечной точки графика надо построить еще ее точки максимума, минимума и замедления, т. е. все точки графика, в которых каса тельная параллельна оси абсцисс (см. рис. 18).

b. Для пояснения построим график функции

на отрезке [-3, 3]. Здесь первая производная равна

Чтобы найти точки максимума, минимума и замедления нашего графика, надо найти все те значения при которых

Это будет при , а также при

Итак, все значения х из интервала (-3, 3), при которых , суть

Согласно высказанному в пункте «а» общему правилу строим точки графика, отвечающие значениям

Соответствующие ординаты таковы:

Мы можем построить все интересующие нас точки графика соответственно следующей таблице:

В промежутках между каждыми двумя соседними из этих точек наша функция может или только возрастать или только убывать (функция не может изменить возрастание на убывание или обратно, не достигнув макси мума или минимума, т. е. без того, чтобы у не обратилась в нуль, а у нас собраны все точки , где

Рис. 21

Поэтому часть графика, соединяющая две соседние из точек

должна идти все время в одном направлении: или все время подымаясь вверх, или же все время опускаясь вниз.

Имея это в виду и заботясь о том, чтобы касательные в точках были параллельны оси абсцисс, мы получим график, изображенный на рис. 21.

Ко всему сказанному нужно еще добавить, что линию надо стараться вести возможно более плавно. При этом для более точного построения, кроме точек можно строить и другие точки графика (например, можно было бы построить еще точки с абсциссами .

с. Бывают случаи, когда один или оба конца интервала бесконечно велики или или одновременно . В таких случаях важно знать, что делается с функцией при приближении или

Мы отметим только два главных случая:

1) когда при неограниченном возрастании или функция тоже неограниченно возражает;

2) когда при неограниченном возрастании функция стремится к конечному пределу.

Эти случаи мы разберем лишь на примерах, причем первый случай только в отношении целой функции

Пример 1. Построить график функции

на всем интервале

Имеем

Приравнивая нулю, находим

Для построения графика надо построить точки, отвечающие абсциссам

(Конечно, точек с абсциссами мы построить не можем, но мы проследим, куда идет кривая при приближении или же к )

Чтобы найти преобразуем нашу функцию

Мы видим, что при неограниченном возрастании множитель в скобках приближается к 1. Первый же множитель неограниченно возрастает, приближаясь к когда стремится к и приближаясь когда стремится к Отсюда, очевидно,

Далее, находим

и получаем следующую таблицу:

На рис. 22 построены точки обозначение указывает только приблизительное направление, в котором перемещается точка М при (влево и вниз), а обозначение — направление, в котором перемещается точка М при (вправо и вверх).

Участки построены весьма крутыми. Действительно, равенство (1) показывает, что при больших х функция возрастает приблизительно как (ввиду близости второго множителя к 1), т. е. как бесконечность третьего порядка по сравнению с (например, когда 100, то ).

Рис. 22

Пример 2. Построить график функции

на всем интервале Эта функция, очевидно, непрерывна, так как знаменатель ее никогда не обращается в нуль. Находим

Это выражение равно нулю, лишь когда числитель равен нулю, т. е. когда , откуда .

Здесь

Далее, находим

График нашей функции (рис. 23) строим согласно следующей таблице:

d. Заметим еще раз, что все сказанное нами относилось исключительно к случаю, когда в рассматриваемом интервале как сама функция, так и ее производная являются непрерывными функциями

Рис. 23

Более детальное исследование как в отношении уточнения построения графика, так и в отношении возможности построения функций, разрывных или с разрывными про изводными, будет дано дальше.