§ 2. Понятие предела переменной величины

a. С понятием бесконечно малой величины тесно связано понятие предела.

Если переменная приближается к постоянной а так, что разность

между обеими величинами есть бесконечно малая, то говорят, что переменная стремится к пределу а.

b. Запись того, что переменная стремится к пределу а, производится или в виде

I. (читается: предел x равен а) есть сокращенное французское слово limite, что значит предел), или же в виде

II. (читается: стремится к пределу а), или же, наконец, обозначая бесконечно малую разность буквою а, мы можем эту запись произвести в форме

или еще лучше в форме

Последняя запись показывает, что переменная величинах равна своему пределу а, сложенному с бесконечно малой а. Записи I, II, III равносильны между собой.

с. Пример 1. Пусть переменная проходит последовательно такие значения:

Нетрудно видеть, что пределом этой переменной является 1, то есть

Действительно, разность проходит последовательно такие значения:

т. е. является величиною бесконечно малой.

Пример 2. Пусть переменная проходит последовательно такие значения:

Нетрудно видеть, что и в этом случае

Действительно, и здесь разность является величиною бесконечно малой, так как проходит последовательно значения

Пример 3. Пусть имеется окружность. Впишем в нее квадрат, затем удвоим число сторон, затем еще раз удвоим и т. д. Получим переменный правильный многоугольник с неограниченно возрастающим числом сторон (рис. 2).

Если обозначим площадь этого многоугольника буквою S, а площадь круга буквою К, то при указанном неограниченном увеличении числа сторон площадь S будет неограниченно приближаться к площади К, и мы можем написать

d. Можно сказать, что бесконечно малая величина стремится к пределу нуль.

Рис. 2

Действительно, разность

между бесконечно малой и нулем равна самой бесконечно малой:

В связи с этим запись того, что а — бесконечно малая, можно производить одним из двух следукщих способов:

или

e. Можно сказать, что постоянная величина а стремится, к пределу, равному ей самой

Действительно, разность , а нуль можно рассматривать также как бесконечно малую, так как он всегда остается меньше любого положительного числа , каким бы малым последнее ни было задано.