§ 3. Упражнения

1. Построить на миллиметровой бумаге точки с координатами:

2а. Вычислить проекции вектора, если координаты его начала а координаты конца Ответ:

Вычислить проекции вектора, если координаты его начала а конца . Ответ:

3а. Заданы проекции вектора и координаты его начала . Вычислить координаты конца. Ответ: .

3b. Заданы проекции вектора: и координаты конца Вычислить координаты начала. Ответ: .

4а. Даны вершины треугольника Вычислить периметр. Ответ: 150.

4b. Вычислить периметр треугольника с вершинами Ответ: 210.

4с. То же, если вершины имеют координаты Ответ: 240.

4d. То же, если вершины имеют координаты . Ответ: 208.

5а. На оси абсцисс найти точку, равноудаленную от точек . Ответ: (3; 0).

5b. На оси ординат найти такую точку, чтобы ее расстояние до точки было в пять раз больше чем расстояние до точки .

Ответ: две точки .

6а. Найти в первом координатном угле точку такую чтобы ее расстояния от осей координат и от точки (8; 9) были равны между собой. Ответ: две точки (5; 5), (29; 29),

6b. Найти точку равноотстоящую от трех точек . Ответ: (6; 4).

7а. На оси абсцисс найти точку М так, чтобы угол где , был прямой. Ответ: (4; 0), (3; 0).

7b. Найти центр С и радиус круга, описанного вокруг треугольника с вершинами . Ответ:

8а. По координатам вершин треугольника найти координаты середин его сторон. Ответ: .

8b. По координатам середин сторон треугольника найти координаты его вершин. Ответ: .

8с. По координатам середин сторон треугольника вычислить координаты его вершин.

9а. Найти точку, делящую отрезок , где в отношении Ответ: (5; 1).

9b. Найти точку, делящую отрезок где , в отношении Ответ:

10а. Из механики известно, что центр масс однородного треугольника находится в точке пересечения, медиан и делит каждую медиану в отношении в направлении от вершины к основанию. Зная это, показать, что координаты центра масс треугольника g вершинами суть

10b. Найти координаты центра масс треугольника с вершинами . Ответ; (2; 1).

10с. Найти координаты середин сторон треугольника и его центр масс, если вершины треугольника суть . Ответ: (45/2; 7/2), (11/2; 3), (5; 5/2); центр масс в точке (6; 3).

11. Считая известным, что центр масс двух материальных точек с массами находится на отрезке, их соединяющем, и делит этот отрезок на части, обратно ропорциональные массам, доказать что центр масс материальных точек с массами имеет координаты

12, Даны координаты концов диаметра векоторого круга. Наёти центр С и радиус . Ответ: ,

13а, Точка есть начало отрезка, точка — его середина, Найти конец этого отрезка Ответ: ,

13b, Задана точка) . Найти координаты точки если известно что точка М (4; 7) делит отрезок в отношении Ответ: .

13с. По трем вершинам параллелограмма найти четвертую, если известно что она противоположна Ответ: ,

14а, Дан центр масс (2; 2) треугольника и две его вершины (2; 3) и (3; 1), Найти третью вершину, Ответ: (1; 2).

14b. Точка (4; 5) есть середина отрезка, а точка (3; 3) делит его в отношении Найти координаты концов. Ответ: (2; 1) и (6; 9).

15а, Вычислить площадь S треугольника с вершинами . Ответ: .

15b, Найти площадь треугольника с вершинами . Ответ:

16. Узнать, лежат ли точки на одной прямой, или нет. Ответ: лежат.

17. Дан треугольник с вершинами , Вычислить высоту, опущенную из вершины на сторону Ответ: высота равна 1.

18а. Внутри треугольника с вершинами найти точку такую, чтобы прямые, соединяющие ее с вершинами, делили площадь на три равные части. Решите задачу, пользуясь полученной формулой для площади. Проверить решение, замечая, что искомая точка есть центр масс.

18b. Внутри треугольника с вершинами найти такую точку чтобы имело место соотношение

Ответ: М (2; 1).

19а. В треугольнике с вершинами найти радиус вписанного круга. Ответ:

19b. В треугольнике с вершинами найти координаты центра вписанного круга. Ответ:

Дан треугольник с вершинами . Найти центр С и радиус вписанного круга, Ответ: