§ 14. Радиус кривизны, центр кривизны

а. Две нормали, проведенные в точках окружности, всегда пересекутся в центре К окружности, причем длина нормали от точки касания до центра К будет равна радиусу окружности.

Если мы рассматриваем не окружность, а какую-либо другую кривую, то малый участок этой кривой до известной степени тоже можно уподобить дуге окружности и с тем большим правом, чем этот участок меньше. (Подобная приближенная замена малых участков дугами окружностей часто делается при вычерчивании различных кривых.)

Нормали, проведенные в точках (рис. 33), и здесь пересекутся в некоторой точке к, причем по мере приближения к М точка k не будет оставаться неподвижной (как у окружности), а будет перемещаться по линии МК.

Рис. 33

Предельное положение К, к которому приближается при этом точка k, называется центром кривизны, отвечающим точке М.

Отрезок называется радиусом кривизны, отвечающим точке М.

b. Величину радиуса кривизны найти нетрудно. Для этой цели одновременно с дугою будем рассматривать дугу окружности радиуса с центром k. Эта дуга, очевидно, эквивалентна

Далее, нам потребуется угол Этот угол, очевидно, равен углу Да между касательными в точках и М ( — приращение, которое получает угол а при переходе точки М в положение именно: углы наклона касательных к оси абсцисс в точках суть а и ).

Радиус численно равен отношению длины дуги к величине

Отсюда, переходя к пределу, получим

Но нами было показано, что

(считаем аргументом ). Далее,

Поэтому

c. На рис. 33 кривая выпукла вниз и потому положительно (угол а возрастает). Однако может оказаться, что Да отрицательно (когда а убывает), и тогда мы должны взять

потому что R всегда считается величиною положительной. Мы видим, что как в том, так и в другом случае (как для кривой, выпуклой вниз, так и для кривой, выпуклой вверх) за R мы можем принимать абсолютное значение

Пример 1. Найдем радиус кривизны параболы . Имеем

Пример 2. Найдем радиус кривизны циклоиды

Здесь

d. Проводя нормали в близких точках кривой, получим некоторую ломаную

Точки являются приближениями к центрам кривизны точек Поэтому в пределе ломаная обратится в некоторую кривую, представляющую собою не что иное, как геометрическое место центров кривизны. Такую кривую называют эволютой данной кривой.

Сама же кривая по отношению к своей эволюте называется эвольвентой. Из всего сказанного выше ясно, что нормаль в какой-либо точке М к эвольвенте является касательной к эволюте, причем длина участка нормали от точки М до точки касания с эволютой является радиусом кривизны в точке М (точка касания с эволютой — центр кривизны точки М).

Приближенное представление об эволюте можно составить по ломаной (рис. 34).