Вопросы к главе 3

1, а. Представляя целое число в обычной десятичной системе исчисления, вывести признаки делимости на 3, 9, 11.

b. Представляя целое число в системе исчисления с основанием 100, вывести признак делимости на 101.

c. Представляя целое число в системе исчисления с основанием 1000, вывести признаки делймости на 37, 7, 11, 13.

2, Пусть — целое, пробегает полную, а — приведенную систему вычетов по модулю . Доказать, что

3, а. Пусть — вещественное,

где для рассматриваемых значений принимает значения с условием Доказать, что

b. Пусть М — целое, , А и В — вещественные,

Доказать, что

с. Пусть М — целое,

где в интервале функция имеет непрерывные производные причем выполняются условия

где

Доказать, что

4, Пусть в разложении иррационального числа А в непрерывную дробь все неполные частные ограничены, М — целое, — целое, — вещественное. Доказать, что

5, а. Пусть и в интервале функция имеет вторую непрерывную производную, удовлетворяющую условиям

Доказать, что

b. Пусть - целые. При условиях вопроса а доказать, что число дробей с условием выражается формулой

6, а. Пусть Т — число целых точек области Доказать, что

b. Пусть - целое, — постоянная Эйлера. Доказать, что

При и целом положительном доказать, что

Для доказательства воспользоваться очевидным неравенством: .

d. При и целом положительном доказать, что

7. Систему целых положительных чисел, каждое из которых представлено в системе исчисления с основанием 2, назовем правильной, если при всяком целом неотрицательном 5 число чисел, в представление которых входит будет четным, и неправильной, если хотя бы при одном s это число будет нечетным.

Доказать, что неправильную систему путем уменьшения или полного изъятия некоторого одного ее члена можно сделать правильной, а правильная система от уменьшения или полного изъятия любого ее члена делается неправильной.

8. а. Доказать, что сумма

где независимо друг от друга пробегают значения , представляет все числа

причем каждое число — единственным, способом.

b. Пусть — положительные попарно простые. Пользуясь с, § 4, доказать, что полную систему вычетов по модулю получим, заставляя в сумме

числа пробегать полные системы вычетов по модулям

9. Пусть - попарно простые и

а. Применяя с, § 4, доказать, что полную систему вычетов по модулю получим, заставляя в сумме числа пробегать полные системы вычетов по модулям

b. Применяя b § 5, гл. II и b, § 5, доказать, что приведенную систему вычетов по модулю получим, заставляя в сумме

числа пробегать приведенные системы вычетов по модулям

Доказательство теоремы вопроса b провести независимо от теоремы b, § 5, гл. II и тогда уже вывести последнюю теорему, как следствие первой.

d. Найти элементарным путем выражение для и, пользуясь мультипликативностью вывести известное выражение для .

10. Пусть - попарно простые, превосходящие

Пусть пробегают полные, — приведенные системы вычетов по модулям . Доказать, что дроби

совпадают с дробями а дроби падают с дробями.

b. Пусть задан многочлен с целыми коэффициентами от переменных

и пусть

пробегают полные, a приведенные системы вычетов по модулю пробегают полные, а — приведенные системы вычетов по модулю т. Доказать, что дроби совпадают с дробями совпадают с дробями (обобщение теорем вопроса а).

11, а. Пусть — целое, — целое, пробегает полную систему вычетов по модулю т. Доказать, что

b. Пусть а — вещественное, М — целое, - целое Обозначая символом (а) численное значение разности между а и ближайшим к а целым числом (расстояние а до ближайшего целого), доказать, что всегда,

c. Пусть — целое, и функции для значений принимают целые значения с условием Доказать, что

12. а. Пусть — целое, пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Доказать, что

b. Пользуясь теоремой вопроса а, доказать первую из теорем с, § 4, гл. II (см. решение вопроса 28, а, гл. II).

c. Теорему вопроса а вывести, пользуясь теоремой вопроса 17,

d. Пусть

— многочлен с целыми коэффициентами от переменных — целое, - целое, пробегают полные, а — приведенные системы вычетов по модулю т. Вводим обозначения

Пусть далее , где — попарно простые, превосходящие 1, и пусть Доказать, что

е. При обозначениях вопроса d полагаем

где а пробегает приведенную систему вычетов по модулю т. Доказать, что

13, а. Доказать, что

где пробегает простые делители числа а.

b. Из тождества вопроса а вывести известное выражение для .

14, Доказать, что

где или в зависимости от того, является ли а квадратом целого числа или нет.

15, а. Пусть — простое и - целые. Доказать, что

b. Из теоремы вопроса а вывести теорему Ферма.

c. Из теоремы Ферма вывести теорему Эйлера.

Численные примеры к главе 3

1, а. Найти остаток отделения

b. Делится ли на число ?

2, а. Применяя признаки делимости вопроса 1, найти каноническое разложение числа 244943325.

b. Найти каноническое разложение числа 282321246671737.