Научная библиотека

§ 4. Обзор и графическое изображение простейших функции одного аргумента

а. Мы начнем с рассмотрения наиболее простых функций.

Пусть мы имеем функцию первого порядка

Сначала разберем еще более простой случай

т. е. тот частный случай, когда

Составим таблицу, давая произвольные, например, целые значения, и вычисляя соответствующие значения у.

Примем теперь пары значений х и у за координаты точек и будем наносить на бумагу эти точки. Предположим сначала, что число А; положительно и что оно изображается отрезком , а единица длины — отрезком ; тогда, соединяя все точки, получим прямую АВ, изображенную на рис. 33.

В таблице даны семь пар значений , эти пары нам дали семь точек.

Но, очевидно, и любая пара значений х и у, полученная из уравнения (2), дает точку, лежащую на той же прямой. Обратно, любая точка (х; у) этой прямой имеет координаты, удовлетворяющие уравнению (2). Это следует непосредственно из подобия треугольников Действительно,

т. е.

откуда

Из равенства (4) мы усматриваем, что

где а есть угол наклона прямой к положительному на правлению оси абсцисс.

Если k — число отрицательное, то для положительных значений х мы получим отрицательные значения у и обратно,

Рис. 33

Теперь мы получим прямую , которая проходит также через начало координат но из второго угла в четвертый, а следовательно, наклонена к оси абсцисс под тупым углом

Нетрудно видеть, что

откуда

Таким образом, и здесь

Итак, графиком функции (2) всегда будет прямая линия, проходящая через начало координат и составляющая с положительным направлением оси абсцисс угол, тангенс которого равен коэффициенту при х. Этот коэффициент определяет собой наклон прямой к оси абсцисс. Если он положителен, то прямая проходит из первого координатного угла в третий, если же он отрицателен, то прямая проходит из второго угла в четвертый.

Поэтому число к называется угловым коэффициентом прямой.

b. Возьмем теперь прямую АВ

и подпимем ее вверх на расстояние b так, чтобы она заняла положение EF (см. рис. 33). Тогда все ординаты прямой АВ увеличатся на одно и то же положительное число и мы получим уравнение

Если число b будет отрицательно, то мы получим прямую СМ, сдвинутую вниз. Следовательно, уравнение (1) выражает прямую, не проходящую через начало координат, но отсекающую на оси ординат отрезок, равный и имеющую угловой коэффициент к. При различных b и к мы можем получить все прямые плоскости (кроме прямыху параллельных оси ).

Итак, графиком функции первого порядка всегда является прямая, поэтому уравнение (1) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

c. В частности, если то получим прямую PQ (см. рис. 33), параллельную оси абсцисс, отстоящую от нее на расстояние, равное Уравнение ее примет вид

т. е. функция первого порядка выродилась в постоянное число.

В дальнейшем постоянное число мы будем рассматривать как такую переменную величину, у которой все числовые значения равны. Поэтому можно сказать, что график постоянного числа есть прямая, параллельная оси абсцисс, отстоящая от нее на расстояние, равное этому постоянному числу, взятому по абсолютной величине.

d. Функции первого порядка очень часто встречаются в науке. Нередко зависимость, выраженную функцией первого порядка, называют линейным законом. Приведем конкретный пример: мы знаем, что если тело движется равномерно ускоренно, то, обозначая через начальную скорость, через g ускорение, через t время и через v скорость, мы будем иметь формулу:

Таким образом, изменение скорости в равномерно ускоренном движении подчиняется линейному закону.

e. Частным случаем линейного закона будет зависимость

Мы замечаем, что если х увеличить в несколько раз, то численная величина у также увеличится во столько же раз; если х уменьшится в некоторое число раз, то численная величина у уменьшится во столько же раз.

Такая функциональная зависимость называется прямой пропорциональностью. Общим математическим выражением прямой пропорциональности является уравнение (2), причем число к носит название коэффициента пропорциональности.

Если начальная скорость , то зависимость скорости или времени в равномерно ускоренном движении выразится так:

Коэффициентом пропорциональности здесь является постоянное ускорение

f. Теперь займемся графическим изображением функций второго порядка.

Мы рассмотрим лишь частный случай

Пусть для определенности, сначала , т. е.

Составляем таблицу

Построим по этой таблице точки. По нанесенным точкам схематически обрисовывается контур кривой изображенной на рис. 34.

Полученная кривая называется параболой второго порядка, точка О называется ее вершиной. Мы здесь пользовались так называемым способом построения кривой по точкам. Это наиболее употребительный и простой способ вычерчивания графиков функций. Заметим, что чем подробнее мы составим таблицу, т. е. чем меньше промежутки будем брать для последовательных значений аргумента, тем точнее мы построим кривую.

Пусть теперь , т. е.

Мы получим кривую В с более крутым подъемом. Для функций

т. е. для а получим более пологую кривую С.

Рис. 34

Далее для отрицательных значений коэффициента например, для , т. е. для функций

мы получим кривые, изображенные пунктиром. Если бы ось абсцисс обладала свойством зеркала, то кривые были бы зеркальными отражениями кривых . Заметим, что для всех значений коэффициента а мы получим аналогичные графики. Все кривые типа (6) называются также парабодами второго порядка, все она имеют вершину в начале координат, все они будут симметричны относительно оси ординат. Очевидно, форма параболы зависит только от числового значения коэффициента а.

Если мы пожелаем вычерчивать графики функции второго порядка общего типа

то получим также параболы, но вершины их не будут находиться в начале координат; это будет строго доказано позднее.

д. Функции второго порядка в науке встречаются часто. Когда мы говорим о табличном задании функций то приводим пример зависимости напряжений в ободе махового колеса от скорости его вращения. Эта зависимость может быть очень точно выражена формулой

где — плотность материала колеса.

Еще пример: при равномерно ускоренномдвижепии путь зависит от времени, и эта зависимость выражается формулой

где g — ускорение силы тяжести, — начальная скорость, — начальный путь, S — путь, пройденный за время

h. Теперь займемся дробными функциями. Для простоты мы рассмотрим только один частный; но очень важный случай

При построении графиков дробных функций мы нередко встречаемся с одной характерной особенностью, которая отлично видна даже на этом простом примере, а именно, при составлении таблицы для данной функции мы аргументу можем задавать любые значения, за исключением так как на нуль делить нельзя. Таким образом, при наша функция не существует. Последнее обстоятельство вынуждает нас осмотреть окрестности нуля. Для этого мы будем задавать аргументу численно уменьшающиеся положительные и отрицательные значения осторожно подходя к нулю справа и слева, например, так как это показано в нижеследующей таблице, где для определенности мы взяли

Построим теперь график нашей функции (рис. 35).

Рис. 35

Мы изобразили график функции сплошной линией. При рассмотрении его нетрудно заметить, что кривая состоит из двух ветвей, совершенно отделенных друг от друга координатными осями, так что одна ветвь расположена в первом координатном углу, а другая — в третьем.

Если мы проследим ход кривой, безгранично удаляясь от начала координат в обе стороны по горизонтальному и но вертикальному направлениям, то убедимся, что каждая ветвь неограниченно приближается к координатным осям, но никогда их не достигает. Заметим, что, вообще, если мы встречаемся с какой-либо кривой, которая неограниченно стремится к некоторой прямой, то такая прямая называется асимптотой кривой. Таким образом, изображенная на чертеже кривая имеет две асимптоты, одной является ось абсцисс, другой ось ординат.

Если мы возьмем , то получим кривую, изображенную на чертеже пунктиром; она является зеркальным отражением первой кривой относительно оси абсцисс, а также и относительно оси ординат.

Для других значений к мы получим аналогичные кривые. Все кривые типа (1) называются равнобочными гиперболами, все они имеют своими асимптотами координатные оси, все они состоят из двух отдельных ветвей причем при положительных к ветви будут расположены в первом и третьем координатных углах, а при отрицательных к ветви будут расположены во втором и четвертом координатных углах.

k. Уравнение (1) показывает, что если величину аргумента увеличить в несколько раз, то численная величина функции у уменьшается во столько же раз, и обратно: при уменьшении аргумента в несколько раз численное значение функции во столько же раз увеличивается.

Такая зависимость называется обратной пропорциональностью, и уравнение (8) выражает математически в общем виде закон обратной пропорциональности.

Приведем конкретный пример на закон обратной пропорциональности.

Из фивики известно, что при постоянных массе газа и температуре произведение величины объема газа на величину его давления есть величина постоянная.

Если обозначить объем через а давление через то можем написать или же где с — постоянная величина.