РЕШЕНИЯ ВОПРОСОВ

Решения к главе 1

1. Остаток от деления на d, имея вид и будучи меньше непременно равен нулю. Поэтому - делитель всех чисел вида и, в частности, общий делитель чисел . С другой стороны, выражение для d показывает, что всякий общий делитель чисел а и b делит d. Поэтому и верна теорема 1, d, § 2. Теоремы , § 2 выводятся так: наименьшее положительное число вида есть наименьшее положительное число вида есть Обобщение этих результатов тривиально.

2. При утверждение очевидно. Пусть и утверждение справедливо для всех простых чисел, меньших . Докажем его для . Если а не делится на , b не делится на , то по с. § 1 . Следовательно, по 2, § 1 делится на , т. е.

Каждый простой делитель чисел меньше , поэтому по индукционному предположению он делит . Производя сокращения, приходим к равенству

которое противоречиво, а это и доказывает наше утверждение.

3. а. Действительно, всегда будем иметь

откуда найдем

b. При теорема очевидна; поэтому предполагаем Имеем

Отсюда

4, а. Для дробей и имеем . Вставляя между дробями с условием дробь имеем Поэтому верно утверждение, отмеченное в конце вопроса. Существование дроби с условиями невозможно. В противном случае мы имели бы

b. Очевидно, достаточно рассматривать случай . Пусть где — соседние дроби ряда Фарея, отвечающего . Возможны два случая:

Поэтому верно одно из двух неравенств

откуда ввиду указанная теорема следует непосредственно.

c. В случае, когда а — несократимая дробь с условием

за можно принять саму дробь . В противном случае за можно принять подходящую дробь с условием

5, а. Нечетные простое числа при делении на 4 дают остаток 1 или же 3. Произведение чисел вида имеет вид Поэтому число где — простые вида наверно имеет простой делитель q вида . При этом q не совпадает ни с одним из чисел .

b. Простые числа, превосходящие 3, имеют вид или же . Число . где - простые вида наверно имеет простой делитель q вида При этом q не совпадает ни с одним из чисел .

6. Пусть — какие-либо k простых чисел и - целое с условиями

Число чисел а ряда каноническое разложение которых имеет вид ввиду не больше чем

Поэтому в ряде найдутся числа, в каноническое разложение которых входят простые, отличные от .

7. Например, такие последовательности получим при

8. Взяв целое с условием, что при положим Составными (кратными будут все числа

9. а. При наличии (1) одно из чисел , пусть именно будет четным; из

где, очевидно, убеждаемся в существовании положительных целых и с условиями

Отсюда следует необходимость условий, указанных в вопросе. Достаточность этих условий очевидна.

b. Условимся здесь обозначать буквами лишь целые положительные числа. Допустив существование систем условиями выберем из них систему с наименьшим . Предполагая четным, найдем где а — четное (при четном и было бы что невозможно). Отсюда что ввиду невозможно.

Из неразрешимости уравнения как частный случай, очевидно, следует и неразрешимость уравнения в целых положительных

10. Полагая находим

Поэтому кратно и, следовательно,

11, а. Пусть k — наибольшее целое с условием , — произведение всех нечетных чисел, не превосходящих . Число представится суммою, все слагаемые которой, кроме суть целые числа.

b. Пусть k — наибольшее целое с условием — произведение всех взаимно простых с 6 чисел, не превосходящих

Число представится суммою, все слагаемые которой, кроме суть целые числа.

12. При теорема проверяется непосредственно. Поэтому достаточно, считая при теорему верной для биномов доказать справедливость теоремы и для бинома Но коэффициенты разложения этого бинома за исключением крайних, равных 1, суть числа

Для нечетности же всех этих чисел необходимо и достаточно, чтобы нечетными были крайние из них, как раз равные и чтобы также нечетными были числа, получаемое вычеркиванием нечетных сомножителей из числителей и знаменателей оставшихся чисел. Но, полагая эти числа можно представить членами ряда

Последние же ввиду будут все нечетными тогда и только тогда, когда имеет вид , т. е. когда имеет вид