§ 23. Уравнение лемнискаты

a. В качестве примера, где найденные формулы приносят пользу, выведем полярное уравнение лемнискаты»

Эта кривая есть геометрическое место точек, произведение расстояний которых до двух данных точек есть постоянная величина , где — расстояние

Таким образом, для любой точки (х; у) лемнискаты будем иметь

b. Приступая к выводу уравнения, мы оси координат располагаем, как показано на рис. 83. Координаты точек тогда будут .

Рис. 83

Рассматривая гг как расстояние между точками как расстояние между точками , из (1) получим

Это и есть уравнение лемнискаты в прямоугольных координатах.

с. Однако гораздо проще будет выглядеть уравнение лемнискаты, отнесенное к полярным координатам (полюс, в О, полярная ось Ох). Его получим, если в уравнение (2) заменим х и у их выражениями, получаемыми из формул перехода

Тогда уравнение (2) примет вид

или

или, извлекая корень и оставляя только знак

d. В заключение дадим краткое исследование формы лемнискаты согласно найденному уравнению. Ход изменения с изменением ясен из нижеследующей таблицы:

Эта таблица подтверждает форму лемнискаты, изображенную на рис. 83.