Научная библиотека

§ 5. Векторные цепи

a. Если несколько векторов расположены так, что конец каждого вектора служит началом следующего, то такую их совокупность будем называть векторной цепью (см., например, рис. 14).

Вектор, соединяющий начало первого эвена цепи о концом последнего, называется замыкающим вектором для данной цепи. По характеру расположения векторов мы можем подразделить цепи на пространственные, плоские и прямолинейные. Пространственной мы будем называть такую цепь, у которой все звенья не могут уместиться в одной плоскости; если же все звенья цепи лежат в одной плоскости, то цепь будет плоская; наконец, если все звенья цепи лежат на одной прямой, то цепь будет прямолинейной. Сначала мы будем говорить о прямолинейных цепях, потом о плоских; пространственными цепями мы будем заниматься много позднее.

b. Теорема Шаля. Алгебраическая сумма величин. векторов прямолинейной цепи равна величине ее замыкающего вектора.

Пусть имеется сначала цепь из двух векторов.

Могут представиться несколько случаев. Разберем сначала случаи, где точка b правее

Случай 1. Даны векторы, указанные на рис, 3 (с правее b), Здесь очевидно, что

Случай II. Векторы расположены так, как на рис. 9 (с между а и b). Мы видим, что

Так как нам надо доказать (1), то переносим в левую часть с обратным знаком: откуда ввиду имеем опять

Рис. 8

Рис. 9

Случай III. Векторы расположены, как на рис. 10 (с левее а). Мы видим, что откуда или, ввиду имеем

Остаются случаи, где b левее а, как на рис.

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12

Рис. 13

Эти случаи рассматриваются аналогично первым трем, а потому разбор их в виде упражнения предоставляем самим учащимся.

Итак, всегда

Таким образом, для двух векторов теорема Шаля доказана.

Пусть теперь дана цепь, состоящая из любого числа векторов, например,

Сложим алгебраически их величины и будем постепенно применять теорему Шаля каждый раз для двух векторов:

Теперь теорема Шаля доказана для любого числа векторов.

с. Теорема о проекции векторной цепи на любую ось. Пусть имеется какая-нибудь цепь (рис. 14), все звенья которой лежат в одной плоскости, Здесь вектор AL является замыкающим.

Рис. 14

Спроектируем цепь и ее замыкающий вектор на ось PQ. Нетрудно видеть, что на оси PQ получится прямолинейная векторная цепь, На основании теоремы Шаля имеем

Так как

то имеем

т. e. алгебраическая сумма величин проекций звеньев векторной цепи на любую ось равна величине проекции замыкающего вектора на ту же ось.

d. Понятие о цепи векторов имеет большое значение для механики. Приведем примеры.

Представим себе, что точка делает несколько последовательных перемещений. Например, как указано на рис. 14, точка перемещается из положения А в положение затем из В в С и т. д., наконец, из положения К в положение L. Очевидно, окончательное перемещение точки будет изображаться вектором таким образом замыкающий вектор заменяет собой всю цепь перемещений,

То же самое можно сказать, если звенья цепи изображают векторы, равные и параллельные силам, приложенным к одной точке А. Замыкающий вектор AL изображает тогда равнодействующую всех этих сил, действие которой заменяет действие всех этих сил.

е. Поэтому замыкающий вектор называется также гео метрической суммой векторной цепи.

Записывается это так:

Нужно только помнить, что плюсы, стоящие в левой части, имеют другой смысл, чем в алгебре: они обозначают не алгебраическое, а геометрическое сложение. Только в том случае, когда все векторы лежат на одной прямой, геометрическая сумма переходит в алгебраическую.