Глава 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Функции многих переменных. Область определения. Непрерывность

а. В предыдущих главах мы занимались изучением функций только одной переменной. Мы уже успели убедиться в том, что теория этих функций дает мощное орудие технике и естествознанию для достижения тех целей, которые перед собой эти науки ставят. Но теперь мы должны напомнить, что большинство величин, с которыми приходится иметь дело естествоиспытателю и инженеру, зависят не от одной переменной, а чаще всего от двух или даже большего числа переменных. Приведем примеры.

1. Объем V газа зависит от температуры t и давления р, так что

2. Представим себе систему, состоящую из веществ различного химического состава. Каждое вещество, входящее в систему, химики называют компонентой системы. Очевидно, состояние системы зависит от масс всех компонент. Но оказывается, что здесь имеют значения не абсолютные величины масс, а отношения всех масс к одной, последних будет на единицу меньше, чем компонент, т. е. их будет . Так как состояние системы зависит еще от давления и температуры системы, то состояние системы следует рассматривать как функцию от независимой переменной. Можно привести еще много примеров, но мы ограничимся только этими. Как видно, изучение функций многих переменных есть вопрос, чрезвычайно важный для естествознания и техники. В дальнейшем мы будем вести рассуждения только для функций двух переменных; все сказанное о них будет справедливо и для функция многих переменных.

b. Как известно, функция двух независимых переменных х и у записывается так:

Иногда функция дается уравнением

Тогда мы называем ее неявной. Но если решить это уравнение относительно , то мы приведем ее к явному виду (1).

Например, если имеем уравнение

то, определяя из него , найдем такую явную функцию:

c. Напомним, что если принять за координаты точки в пространстве, то функция (1) или (2) двух переменных изобразится некоторой поверхностью.

Например, функция (4) или же (3) изображается сферой радиуса R с центром в начале координат.

d. Очень часто довольствуются тем, что изображают графически только независимые переменные х и у, а саму функцию не изображают. Получится такая картина: если мы будем как-нибудь менять х и у, то получим точку, движущуюся в плоскости; сама функция наглядно изображена не будет, но для каждого положения точки она будет иметь определенное числовое значение. Для краткости мы будем говорить в таких случаях, что есть функция точки (х; у) плоскости.

e. Рассмотрим более внимательно функцию (4). Мы видим, что хотя являются независимыми переменными, мы не можем им задавать совершенно произвольные значения, так как необходимо, чтобы было

В противнем случае мы получим для мнимое значение, т. е. функция не будет определена. Нетрудно понять, что наша функция (4) определена для каждой точки внутри и на контуре окружности радиуса R (рис. 51) и не определена вне этой окружности.

Совокупность точек, для которых функция определена, называется областью определения (или существования).

Таким образом, для функции (4) областью определения является круг радиуса

Для различных функций область определения имеет разный вид. Иногда этой областью является вся плоскость. Например, функция

определена для каждой точки плоскости.

f. Переходим теперь к вопросу о непрерывности и разрыве. Выясним эти понятия на примере.

Рассмотрим такую функцию!

Для каждой точки плоскости, кроме точки (0; 0), мы можем вычислить одно определенное конечное значение функции.

Рис. 51

Рис. 52

Для точки (0; 0) мы получим не имеющее опре деленного смысла значение

Таким образом, функция задана уравнением (5) для всех точек плоскости, кроме точки (0; 0). Это пустое место можно было бы заполнить, задавая в точке (0; 0) для функции какое-нибудь желательное для нас значение.

Однако последнее совершенно бесполезно ввиду того, что данная функция в точке (0; 0) имеет еще одну особенность. Действительно, пусть из начала координат выходит кривая под углом а к оси абсцисс (рис. 52).

Представим теперь себе, что точка (х; у) неограниченно, приближается к началу координат по этой кривой.

Тогда, если обозначить то при неограниченном уменьшении и у отношение будет приближаться к а, так что

Основываясь на этом, мы можем найти предел, к которому стремится наша функция, когда х и у приближается к нулю по тому закону, который дает выбранная кривая:

Очевидно, точка (х; у) может подходить к началу координат по самым разнообразным кривым, поэтому а может принимать любое значение. Таким образом, наша функция не имеет какого-нибудь определенного предела при неограниченном уменьшении и у до нуля, так как этот предел зависит от того закона, по которому стремятся к нулю х и у. Теперь мы видим, что какое бы значение для функции в точке (0; 0) мы ни задали, оно не может равняться пределу, к которому стремится функция при неограниченном уменьшении и у до нуля, просто потому, что в этой точке функция не имеет определенного предела. Нетрудно видеть, что только в начале координат наша функция обладает таким странным свойством. Во всякой другой точке наша функция имеет вполне определенное значение, причем оно совпадает с пределом, к которому стремится функция, независимо от как мы будем подходить к этой точке. Мы будем говорить, что начало координат для нашей функции является точкой разрыва. Точно так же будем говорить, что в других точках наша функция непрерывна.

Теперь дадим общее определение непрерывности и разрыва функций двух независимых переменных.

Функция называется непрерывной в области ее определения, если выполняются следующие два условия:

1. Для каждой точки в этой области функция имеет одно определенное конечное значение.

2. Для каждой точки в этой области имеем

по какому бы закону ни приближались к нулю

Если мы теперь припомним, что переменная величина, имеющая предел, отличается от своего предела на бесконечно малую величину, то второе условие можно представить в таком виде:

где а — бесконечно малая величина, независимо от того, по какому закону приближаются к нулю

Те точки, для которых не выполняются наши условия, мы будем называть точками разрыва. Очевидно, в точках разрыва равенство (6) неприменимо.