§ 10. Другой подход к выводу уравнения прямой

a. К выводу уравнения прямой можно подойти несколько иначе, а именно, задавая направляющий вектор не перпендикулярно прямой, а параллельно ей.

Пусть дана точка и вектор с проекциями , параллельный данной прямой.

Этот вектор будем также называть направляющим. В частности, он может находиться на самой прямой. На рис. 55 этот вектор лежит именно на той прямой, которую он должен направлять.

Рис. 55

Возьмем на прямой произвольную точку . Где бы эта точка на прямой ни находилась, вектор будет параллелен направляющему вектору (или будет с ним совпадать). Поэтому проекции этого вектора будут всегда пропорциональны проекциям I в направляющего вектора.

Следовательно, будем иметь уравнение

которое будет выполняться для любой точки, лежащей на прямой, и не будет выполняться для точек, на ней не лежащих. Таким образом, полученное равенство (1) есть искомое уравнение прямой.

b. Уравнение (1) можно представить также в таком виде:

Нетрудно видеть, что

где а есть угол наклона прямой линии к оси абсцисс, так что равно угловому коэффициенту прямой который мы ранее условились обозначат через k.

Следовательно, уравнение (1) можно написать в виде

Эта форма уравнения называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку, с заданным угловым коэффициентом.

с. Если мы точку будем считать неподвижной, а угловой коэффициент к переменным, то паша прямая будет вращаться вокруг точки М.

Если к пробежит все числовые значения от до то наша прямая сделает полйый оборот вокруг точки

Таким образом, при произвольном к уравнение (2) выражает любую прямую, проходящую через точку (кроме прямой, параллельной оси ординат; ее уравнение ). Поэтому при произвольном к уравнение (2) носит название

«уравнение пучка прямых с центром в точке

Если числу к задать числовое значение, то мы из пучка выхватываем ту прямую угловой коэффициент которой равен данному числу