§ 14. Высшие производные

а. Производная функции в свою очередь есть тоже функция Можно также находить ее производную, которая носит название второй производной функции и обозначается символом

(Геометрически она представится угловым коэффициентом касательной к графику первой производной ), т. е. к графику, где ординатой является уже не

Производная второй производной называется третьей производной функции и обозначается символом

и т. д.

Только в отношении производных выше третьего порядка обозначения делаются уже неудобными и потому четвертую, и пятую... и вообще производные обыкновенно обозначают так:

Пример. Для имеем

b. Производные порядка больше 1 обыкновенно приходится находить последовательно. Сначала находим затем затем и т. д. (см. предыдущий пример). И только в некоторых, самых простых, случаях производную можно написать сразу. Вот эти случаи»

и если — целое положительное, то

В случаях 4 и 5 выражения производных периодически повторяются через 4. Например, в случае 5 имеем

с. В некоторых случаях вычисление высших производных облегчается применением трех общих формул, которые мы сейчас отметим.

1. Пусть

Последовательно находим

и вообще

производная суммы равна сумме производных слагаемых.

Например,

2. Пусть

где а — постоянное. Последовательно находим

и вообще

т. е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.

Например,

3. Пусть

где - функции х. Имеем

Далее находим у:

что похоже на

Далее находим

что опять-таки похоже на

Аналогичная формула

похожая на формулу

может быть установлена и в случае любого целого положительного я; она называется формулой Лейбница. Выводить ее мы не будем.

Пример. Пусть требуется найти

Применяя здесь формулу (1), имеем