§ 14. Преобразование координат

а. При решении какого-либо вопроса методами аналитической геометрии (например, при изучении свойств кривых линий) весьма важно бывает целесообразным образом выбрать координатные оси.

Может оказаться, что при одном выборе осей координаты некоторых интересующих нас точек или уравнения интересующих нас линий выглядят сложно.

Тогда возникает вопрос о замене выбранных осей новыми, относительно которых можно предполагать, что интересующие нас координаты или уравнения получаются в более простом виде.

Но когда новые координатные оси намечены, возникает вопрос, как, зная старые координаты точек или уравнения линии, найти новые координаты или уравнения.

Для решения поставленных задач служат так называемые формулы перехода, связывающие старые координаты точки с новыми ее координатами.

Именно, эти формулы дают выражения старых координат точки через новые координаты

b. Начнем с простейшего случая, когда новые оси имеют новое начало координат, но старое направление, т. е. когда они параллельны старым.

Рис. 73

Пусть (а; b) — старые координаты нового начала Охуг — новые оси.

Рассмотрим векторную цепь и ее замыкающий вектор ОМ (рис. 73).

Проектируя на старую ось абсцисс, имеем

откуда, ввиду того что

олучим

Аналогично, проектируя на старую ось ординат, получим

Итак, имеем формулы

перехода при параллельном переносе осей

с. Пример. Пусть дан треугольник вершинами Попробуем перенести оси, поместив новое начало в вершину L. Тогда и наши формулы для данного случая примут вид

или же выражая новые координаты через старые, имеем

Подставляя теперь сюда вместо х и у последовательно старые координаты вершин нашего треугольника, получим следующие новые координаты этих вершин: .

Таким образом, треугольник имел весьма сложные старые координаты вершин новые же координаты очень простые. Разумеется, это сильно упростит решение всех задач связанных с этим треугольником,