Глава 5. ПРОСТЕЙШИЕ КРИВЫЕ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

§ 1. Окружность

а. В качестве следующего примера отыскания уравнения геометрического места точек мы рассмотрим окружность. Очевидно, окружность будет вполне определена, если дан ее центр и радиус а.

Пусть — какая-либо точка плоскости (рис. 56); квадрат расстояния от нее до центра окружности выражается величиной

Эта величина будет равна (квадрату радиуса), если точка М лежит на окружности, она будет меньше если точка М расположена внутри: окружности, и будет больше а, если точка М расположена вне окружности. Таким образом, для всех точек окружности имеем уравнение

Для точек же, не лежащих на окружности, оно не будет верно.

Таким образом, это уравнение и есть уравнение окружности.

Например, уравнение окружности радиуса 3 с центром в точке (2; 4), изображенной на рис. 56, будет

b. В частности, если центр окружности совпадает с началом координат, то и . Уравнение окружности принимает вид

Рис. 56

Это уравнение иногда полезно представить и в явной форме:

Наличие двух знаков в правой части уравнения говорит о том, что каждой абсциссе отвечают две точки окружности , у которых ординаты равны по длине, по имеют различные знаки. Поэтому данная окружность симметрична носительно оси абсцисс.

Например, уравнение окружности, изображенной на рис. 57 , будет

или в явной форме .