§ 9. Уравнение гиперболы

а. Для любой точки (х; у) гиперболы (рис. 66)

Рис. 66

Рассматривая же , как расстояние между точками как расстояние между точками имеем отсюда

Это и есть уравнение гиперболы но оно имеет довольно сложный вид, а потому мы постараемся его упростить.

А именно, перенеся первый радикал в правую часть, мы возведем обе части уравнения в квадрат с целью освободиться от одного из радикалов:

Однако, сравнивая это уравнение с соответствующим уравнением для эллипса, мы видим, что эти уравнения отличаются друг от друга только знаком стоящим перед радикалом в левой части.

По возведении же в квадрат это различие пропадет а потому дальнейшие преобразования будут такие же точно, как и у эллипса, вплоть до уравнения (4) § 4, т. е. мы придем к уравнению

Но тогда как у эллипса было

здесь мы должны положить

а потому уравнение (2) примет вид

b. Далее, как и у эллипса, здесь не лншним будет проверить, не будут ли уравнению (3) удовлетворять какие либо точки, не принадлежащие гиперболе.

Но, решая уравнение относительно у, имеем

Мы видим, что, во-первых, абсциссы по абсолютной величине могут быть только больше или равны (иначе правая часть уравнения (4) будет мнимой).

Во-вторых, каждой абсциссе отвечают численно равные и противоположные по знаку ординаты. Но то же самое мы наблюдаем и на чертеже гиперболы, сделанном посредством нити.