§ 3. Пояснение общей теории на примере. Уравнения касательной и нормали

а. Для пояснения того, как при помощи формулы (2) пункта «а» § 2 можно найти математическое выражение производной, рассмотрим функцию

Производная этой функции равна пределу

но здесь

и, следовательно,

Итак,

b. В то время как значение самой функции

отвечающее какому-либо значению изображается ординатой соответствующей точки графика (параболы), соответствующее тому же значению значение производной

изображается угловым коэффициентом касательной.

На прилагаемой таблице даны ординаты и угловые коэффициенты касательной нашей параболы для точек с абсциссами (первая строка таблицы указывает наименование точек, вторая — абсциссы этих точек, третья — ординаты, наконец, четвертая — угловые коэффициенты касательных).

Рис. 10

Учащиеся легко проверят, что вычисленные нами значения а совпадают с теми, которые имеются на рис. 10. (Например, в точке М имеем и, действительно, здесь касательная совпадает с осью абсцисс. В точке имеем и, действительно, рис. 10 показывает, что касательная в точке наклонена к оси абсцисс под углом и т. д.)

c. Зная угловой коэффициент касательной, нетрудно написать уравнение касательной. Например, найдем уравнение касательной в точке Здесь (см. таблицу) . Значит, уравнение касательной в точке как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент 3/2, будет

d. Найдем еще уравнение нормали в точке Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания и перпендикулярная касательной. Угловой коэффициент нормали найдем из условия перпендикулярности ее к касательной:

где а — угловой коэффициент касательной в точке равный, как мы видели выше, 3/2. Следовательно,

Итак, уравнение нормали, как уравнение прямой, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент будет