§ 4. Наибольшее и наименьшее значения функции

а. Обращаясь снова к рис. 18 (или к рис. 20, а для случая бесконечного интервала к рис. 21, 22, 23), мы видим, что для отрезков

наибольшее и наименьшее значения функции достигаются на их границах. Например, для первого из указанных отрезков наибольшим значением функции будет а наименьшим . Так как из этих отрезков состоит и весь отрезок [а, b], то наибольшее и наименьшее значения функции на всем отрезке [а, b] должны совпадать с наибольшим и наименьшим из чисел

Отсюда получаем правило:

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения какой-либо функции на отрезке надо, во-первых, найти все точки

этого отрезка, обращающие в нуль первую производную, а затем вычислить ординаты

Тогда наибольшее из чисел (1) будет наибольшим, а наименьшее — наименьшим значением нашей функции на отрезке

Пример. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции

на отрезке [0, 1].

Приравнивая у нулю, имеем

Из этих значений только лежит на отрезке [0, 1] (конечно, на этом отрезке лежит и нуль, но он все равно будет принят во внимание как левый конец отрезка). Значит, согласна общему правилу мы должны вычислить

Имеем

Мы видим, что наибольшее из этих чисел

а наименьшее

Это, следовательно, и будут наибольшее и наименьшее значения нашей функции на отрезке [0, 1].

b. В приложениях очень часто встречается случай, когда производная у обращается в нуль внутри интервала только при некотором одном Тогда наибольшее значение функции есть наибольшее из чисел а наименьшее — наименьшее из этих чисел.

В двух наиболее распространенных случаях можно сразу сказать, что ответом на вопрос является . Это следующие случаи:

1. Когда разыскивается наибольшее значение функции относительно которой известно, что на концах отрезка она обращается в нуль:

а внутри отрезка положительна. (Тогда самым большим из чисел будет потому что оно положительно, и - нули.)

2. Когда разыскивается наименьшее значение функции относительно которой известно, что на конца» отрезка она обращается в

а внутри отрезка конечна. (Тогда самым малым из чисел будет потому что оно конечно, равны

Пример 1. Найдем наибольшее значение функции

на отрезке

Приравнивая у нулю, имеем

Внутри отрезка лежит только На концах отрезка наша функция обращается в нулы

внутри этого отрезка она положительна.

Значит, мы имеем дело со случаем 1. Следовательно, наибольшим значением нашей функции на отрезке [0, 11 будет .

Пример 2. Найдем наименьшее значение функции

на интервале

Здесь, приравнивая у нулю, имеем

Внутри интервала только при

Мы видим, что на границам интервала наша функция

обращается в

внутри же интервала она конечна.

Значит, мы имеем дело со случаем 2. Следовательно, даименьшим значением нашей функции в интервале будет

с. Иногда весьма полезным оказывается тот очевидный факт, что функция принимающая на отрезке [а, b] только положительные значения, достигает наибольшего значения тогда, когда его достигает у или другая положительная возрастающая функция у (например, ).

Пример. Найти наибольшее значение функции

на отрезке

Имея в виду, что на указанном отрезке О, мы будем разыскивать наибольшее значение не самого у, а его квадрата. Имеем

что обращается в нуль при . Так как из этих значений внутри отрезка лежит только

на концах отрезка а внутри отрезка то при мы и будем иметь наибольшее значение у, а следовательно, и самого у. Итак, наибольшее значение у на отрезке будет