§ 16. Поворот осей

Теперь рассмотрим второй важный случай преобразования координат, при котором новые оси имеют старое начало координатх но новые направления.

Рис. 75

Пусть новые оси будут причем дается угол , которым определяется положение новых осей относительно старых и который называется углом поворота (рис. 75). Рассмотрим векторную цепь ОКМ и ее замыкающий вектор ОМ.

Проектируя их на старую ось абсцисс, имеем

откуда ввиду того, что

получим

Теперь спроектируем на старую ось ординат:

откуда ввиду того, что

получим

Пример. Упростим уравнение так называемой равнобочной гиперболы (т. е. гиперболы, у которой )

Ввиду асимптоты такой гиперболы взаимно, пер пендикулярны, и их можно принять за новые оси. Эти новые оси обозначим, как указано на рис. 76. Мы видим, что здесь новая ось абсцисс получается из старой поворотом на угол , а потому формулы перехода будут

Вводя это в уравнение (1), имеем

откуда

или, полагая для краткости

имеем новое уравнение нашей гиперболы в виде

т. е. в том виде, как в начале нащей книги.

Рис. 76

Рис. 77