§ 26. Угол между прямой и плоскостью. Условие параллельности и перпендикулярности

а. Углов нежду прямой и плоскостью будет два: один острый который обозначим буквой другой — тупой, равный

Точно так же два угла будут и между прямой и направляющим вектором плоскости, Острый угол обозначим буквой тупой будет равен (рис. 116).

Рис. 116

Очевидно,

но мы сейчао найдем. Действительно, угол о как раз совпадает g углом между направляющими векторами прямой и плоскости или же дополняет этот угол до 1804. Следовательно от косинуса последнего угла может отличаться только знаком.

Поэтому, если

— уравнение плоскости,

— система уравнений прямой, то

Следовательно, так как , то

b. В частности, прямая параллельна плоскости, если направляющие векторы прямой и плоскости взаимно перпендикулярны, и, наоборот, прямая перпендикулярна плоскости, если она параллельна направляющему вектору плоскости. Поэтому условием параллельности прямой и плоскости будет

и условием перпендикулярности — пропорция

c. В заключение решим задачу: через точку провести прямую» перпендикулярную плоскости

Направляющий вектор плоскости имеет проекции А, В, С. С такими проекциями можно взять и направляющий вектор прямой, тогда прямая будет параллельна направляющему вектору плоскости и, следовательно, перпендикулярна плоскости. Значит, уравнение искомой прямой напишется так;

d. Читатель далее сам убедится, что уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной прямой

будет следующим: