§ 27. Упражнения

1. Наиисагь уравнение окружности радиуса 2 с центром в точке . Ответ:

2. Найти общее уравнение той же окружности. Указание. Общим уравнением окружности называется уравнение, получаемое раскрытием скобок и приведением подобных членов. Ответ:

3. Какое геометрическое значение имеют уравнения:

Ответ, а) окружность точка (2; 3); с) уравнение не изображает никакой кривой.

4. Написать уравнение окружности радиуса а с центром и построить ее, полагая Ответ:

5. Какой вид имеет общее уравнение окружности, проходящей через начало координат? Ответ,

6. В каком виде может быть, написано общее уравнение окружности, концентрической по отношению к окружности Ответ

7. Привести к виду и построить следующие окружности:

Ответ: а)

8. Найти уравнение окружности, для которой точки (2; 2) (8; 10) являются концами одного из диаметров. Ответ:

9. Найта уравнение окружности, проходящей черев точки . Ответ. .

10. Найти уравнение окружности, проходящей через точки . Ответ. .

Указание. Написать уравнение окружности в общем виде а затем определять коэффициенты из тех соображений, что координаты точек должны удовлетворять уравнению.

11. Найти точки пересечения окружности с прямой Ответь

12. Найти точки пересечения окружности с прямой Ответ.

13. Найти точки пересечения окружности с прямой Ответ: .

14. Найти точки пересечения окружности с прямой Ответ: не пересекаются.

15. Доказать, что уравнение любой окружности, про ходящей через точки пересечения окружности с прямой может быть написано в виде

16. Найти точки пересечения окружностей

Ответ: .

17. Найти уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружности с прямой и через точку (1; 1). Ответ:

18. Показать, что общее уравнение окружности, проходящей через точки пересечения окружностей

можно представить в виде

19. В частности, показать, что уравнение предыдущей задачи при изображает прямую, проходящую через точку пересечения обеих окружностей.

20. Дан эллипс

Найти , уравнения директрис. Построить этот эллипс по точкам обоими изложенными в курсе способами. Ответ: уравнение директрис .

21. Выразить длину диаметра эллипса как функцию абсциссы его конца и, исследуя найденное выражение, еще раз убедиться, что наименьшим диаметром будет а наибольшим

22. Написать уравнение эллипса, если известно, что он расположен относительно осей обычным способом и проходит через точки Ответ:

23. Найти точки пересечения эллипса

и окружности

Ответ: четыре точки .

24. Составить уравнение окружности, проходящей через точки если известно, что ее центр лежит на эллипсе

Ответ:

25. Если каждая ордината эллипса

получается умножением ординаты окружности

на постоянное число то каким способом получается из площади круга площадь S эллипса и чему она равна? Ответ:

26. Дана гипербола

Найти , уравнения директрис. Построить эту гиперболу по точкам. Ответ: уравнение директрис .

27. Найти точки пересечения эллипса и гиперболы, если известно, что они имеют общие фокусы, причем для эллипса эксцентриситет а для гиперболы Ответ: четыре точки .

28. Найти длину общей хорды парабол

Ответ: .

29. Привести к простейшему виду уравнение Ответ: начало координат надо перенести в точку (2; 1).

30. Доказать параллельным переносом осей, что уравнение

выражает параболу, и найти общее выражение для координат вершины. Ответ: вершина в точке

31. Решить задачу 3 этого параграфа путем параллельного переноса осей.

32. Доказать переносом осей, что уравнение

всегда или изображает окружность или точку или ничего не изображаем

33 Переносом осей доказать, что уравнение выражает равнобочную гиперболу.

34. Упростить уравнение Ответ: перенос в точку

35. Доказать, что при повороте осей на любой угол уравнение окружности не меняется.

36. Упростить путем поворота осей на уравнение Ответ: парабола вершиной в точке (точнее, часть этой параболы).

37. Путем поворота осей на 30° упростить уравнение Ответ: эллипс

38. Найти полярные координаты вершин правильного шестиугольника со стороной расположенного как на рис 86. Ответ:

39. Объяснить, почему уравнение где — постоянная, изображает луч, проходящий через полюс и наклоненный к полярной оси под углом

Рис. 86

40. Объяснить почему уравнение где — постоянная, изображает окружность радиуса а с центром в полюсе,

41. Даны полярные координаты точек

Вычислить их декартовы координаты (оси расположены обычно). Ответ: .

42. Даны декартовы координаты точек . Вычислить полярные координаты, взяв наименьшие положительные полярные углы (полярная ось расположена обычно). Ответ:

43. Дано уравнение гиперболической спирали в декар товых координатах

Выразить его в полярных координатах и начертить эту спираль. Ответ:

44. Дано уравнение Доказать путем перехода от полярных координат к декартовым, что это уравнение окружности. Ответ:

45. Вывести полярное уравнение прямой, считан данными:

1) длину перпендикуляра, опущенного на нее из полюса;

2) угол а наклона его к полярной оси.

Ответ:

46. Вывести отсюда уравнение прямой в прямоугольных координатах. Ответ:

47. Начертить следующие кривые:

48. Дана кривая параметрическими уравнениями

Найти ее уравнение. Ответ

49. Дана кривая параметрическими уравнениями

Найти ее уравнение. Ответ:

50. Материальная точка движется в плоскости так, что ее координаты выражаются такими функциями времени: Написать уравнение траектории.

Ответ: парабола

51. Дана окружность Найти геометрическое место середин ее хорд, проведенных из начала координат. Ответ: окрзкность

52. Дана парабола найти геометрическое место середин хорд, проведенных из начала координат. Ответ: парабола у

53. Дан эллипс Найти геометрическое место точек, делящих расстояние от центра до любой точки эллипса в отношении Ответ: эллипс с полуосями, равными .

54. Найти геометрическое место точек, каждая которых отстоит от точки на расстояние вдвое большее, чем от точки Ответ:

Рис. 87

55. Прямолинейный стержень АВ скользит координатным осям так, что длина его b постоянна. Найти, какую кривую описывает точка С, отстоящая от конца В на расстояние а от конца А — на расстояние b (рис. 87), Ответ:

Указание. Проще всего найти сначала параметрическое уравнение, взяв, например, за параметр угол а затем параметр исключить. Подобный метод полезен во многих случаях.

56а. Даны точки . Найти геометрическое место таках точек для которых угол вдвое больше угла

Ответ: гипербола

56b. Дана точка Найти геометрическое место таких точек для которых угол вдвое больше угла . Ответ:

57. Даны точки и прямая По этой прямой скользит точка М, Найти геометрическое место точек пересечения высот треугольника Ответ: парабола ,

58. Доказать, что построение параболы если дана хотя бы одна ее точка можно осуществить способом, указанным на рис. 88.

Рис. 88

Рис. 89

(Для большей точности делений можно взять больше.) Применить этот результат к построению параболы

59, Найти геометрическое место точек для каждой из которых произведение расстояний до двух данных то чек есть величина постоянная, равная (овалы Кассини; в частности, при а = с получается лемниската),

60. Дана прямая Через начало координат проводятся различно наклоненные прямые. От точек N пере сечения их g прямой на них откладываются одина ковые отрезки b (рис. 89). Найти геометрическое место концов М этих отрезков. Ответ; (конхоида Никомеда).