§ 5. Основные свойства пределов

a. Сейчас мы докажем две теоремы, позволяющие предугадать некоторые свойства пределов по поведению переменных, которые к этим пределам стремятся.

b. Равные переменные не могут стремиться к двум разным пределам. Иначе говоря, одна и та же переменная не может стремиться к двум разным пределам.

Действительно, допустив одновременно

мы имели бы

где — бесконечно малые. Но отсюда

Последнее равенство при не равной нулю, заключает в себе противоречие, так как в правой его части стоит бесконечно малая которая начиная с некоторого момента будет оставаться меньше любого положительного и, в частности, меньше

Если стремятся к некоторым пределам, причем постоянно

то и

Пусть

Тогда

где — бесконечно малые. Отсюда ввиду неравенства имеем

Последнее неравенство при будет заключать в себе противоречие, так как разность бесконечно мала и, следовательно, начиная с некоторого момента должна оставаться по абсолютной величине меньше любого положительного и, в частности, меньше .

Значит, остается предположить, что , т. е.