Главная > Математика > Элементы высшей математики
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 4. Случай составного модуля

a. Двучленные сравнения второй степени по составному модулю исследуются и решаются согласно общим указаниям § 5, гл. IV.

b. Сначала рассмотрим сравнение

где — простое нечетное.

Полагая , будем иметь и если есть решение сравнения

то ввиду также , а так как — нечетное, то не делится на . Поэтому к разысканию решений сравнения (1) можно применить рассуждения b, § 6, гл. IV, причем каждое решение сравнения (2) даст одно решение сравнения (1). Из сказанного выводим, что

Сравнение (1) имеет два решения или же ни одного, в зависимости от того, будет ли число а квадратичным вычетом или же невычетом по модулю .

c. Далее рассмотрим сравнение

Здесь делится на 2, и потому рассуждения b, § 5, гл. IV неприменимы; они должны быть видоизменены следующим образом:

d. Если сравнение (3) разрешимо, то ввиду имеем ; следовательно делится на 8. Поэтому, приводя сравнение (3) к виду

убеждаемся, что для разрешимости этого сравнения необходимо

e. В случаях, когда условия (4) не нарушены, рассмотрим вопрос о разыскании решений и их числе.

Для случаев ввиду d сравнению удовлетворяют все нечетные числа.

Поэтому сравнение имеет одно решение: , сравнение имеет два решения: , сравнение имеет четыре решения: .

Для рассмотрения случаев все нечетные числа полезно объединить в две арифметические прогрессии:

Посмотрим, какие из чисел (5) удовлетворяют сравнению . Находим

Посмотрим, какие из последних чисел удовлетворяют сравнению Находим

и т. д. Таким путем убедимся, что при любом значения удовлетворяющие сравнению (3), представятся в виде

Эти значения к образуют четыре различных решения сравнения (3)

(по модулю 4 два первых сравнимы с 1, а два последних сравнимы с — 1).

Пример. Сравнение

ввиду имеет четыре решения. Представляя в виде , находим

Поэтому решения сравнения (6) будут:

f. Из с, d и e следует:

Для сравнения

необходимыми условиями разрешимости будут: при при . Если эти условия не нарушены, число решений будет: 1 при

Из b, f и из а, § 5, гл. IV следует:

Для сравнения общего вида

необходимыми условиями разрешимости будут:

ни одно из этих условий не нарушено, число решений будет: 2 при и при

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление