§ 25. Угол между прямыми. Условие параллельности. Условие перпендикулярности

а. Прямые в пространстве образуют между собою два угла, один из которых будет острым, другой — тупым (в частном случае оба угла могут оказаться прямыми или же один будет нулем, другой 180°), Косинусы обоих углов отличаются только знаком (в сумме углы образуют 180°).

Рис. 115

Легко видеть, что один из углов совпадает с углом между направляющими векторами прямых.

Но если

— системы уравнений прямых (как было показано в предыдущем параграфе, их к таком виду всегда можно привести), то направляющие векторы прямых имеют проекции .

Следовательно, косинус угла между прямыми (рис. 115) будет

b. Условие параллельности прямых:

c. Условие же перпендикулярности:

d. Чтобы покончить разбираемым вопросом, решим следующую вадачу.

Через точку провести прямую параллельно прямой

Искомая прямая должна пройти через точку , а так как она параллельна данной, то за направляющий вектор ее можно взять вектор с теми же проекциями , что и у данной прямой. Значит, уравнение искомой прямой может быть написано в форме

e. Примеры,

1. Угол между прямыми

определяется формулой

2. Прямые

параллельны ышду того, что

3. Прямые

вааимно перпендикулярны ввиду того, что

4. Через точку (1; 2; 3) провести прямую параллельно прямой

Чтобы решить эту задачу, сначала приведем систему (1) к системе в виде пропорций. Полагая получим

откуда

и, следовательно, прямая проходит через точку Положив далее получим

откуда

Следовательно, прямая проходит также черев точку 1/2). Система уравнений этой прямой в пропорций будет

или (умножая знаменатели на 2)

Итак, задача свелась к следующей: через точку провести прямую параллельно прямой

Решением этой задачи будет

Однако эту эадачу можно решить и проще, хотя тогда шение и не получится в виде пропорций. Именно, рассмотрим плоскости, параллельные плоскостям

Уравнения плоскостей будут

Прямая пересечения новых плоскостей будет параллель» на прежней и пройдет черев точку Следовательно, прямая, заданная системой (2), и будет той, которая нам требуется.