§ 7. Условие совпадения прямых

Выясним теперь, при каком условии уравнения

определяют одну и ту же прямую.

Очевидно, совпадение двух прямых есть частный случай параллельности. Поэтому должно быть

Обозначая общую, величину обоих отношений через нмеем

откуда

Тогда верхпее уравнение системы (1) примет вид

или

Если уравнения (1) изображают одну и ту же прямую, то одни и те же координаты x, у удовлетворяют как уравнению (4), так и второму уравнению системы (1). Поэтому, если вычтем из уравнения (4) второе уравнение (1), то получим или или же Сопоставляя это с (3), находим

Это и есть условие совпадения двух прямых, которое говорит нам о том, что коэффициенты совпадающих прямых пропорциональны, т. е. одно уравнение получается из второго путем умножения на некоторое постоянное число (число ).

Пример. Прямые

совпадаю так как имеет место равенство

Здесь первое уравнение получается из второго умножением на постоянное число